Conexión entre el determinante de $f$ a su homomorfismo inducido en la homología gps

Question

Es mi tarea del libro de Hatcher.

Es un problema 7 en la sección 2.2, que dice:

Para una transformación lineal invertible $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ demuestran que el mapa inducido en $H_n (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n-{0}) \sim H_{n-1} (\mathbb{R}^n-{0}) \sim \mathbb{Z} $ es la identidad o la -identidad según que el determinante de $f$ es positivo o negativo.

Desde $f$ es un homeomorfismo, parece obvio que el homomorfismo inducido debe ser identidad o -identidad. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo se puede conectar con el deterimante de un mapa.

¡Cualquier comentario será agradecido! ¡Gracias por leer mi pregunta!

Answer 1

Para ampliar el comentario de Mariano:

Es fácil demostrar que $\text{GL}_n(\mathbf{R})$ con la topología inducida de $\text{M}_n(\mathbf{R}) \cong \mathbf{R}^{n^2}$ tiene dos componentes de camino, que consisten en las matrices que tienen determinante positivo o negativo.

Un camino de $f$ a $f'$ (como elementos de $\text{GL}_n(\mathbf{R})$ ) da lugar a una homotopía de $f$ a $f'$ (como homeomorfismos de $\mathbf{R}^{n}$ ). Por la invariancia homotópica de la homología, podemos por tanto sustituir $f$ con cualquier transformación cuyo determinante tenga el mismo signo (por lo que nos reducimos a los casos $f=\text{Id.}$ ou $f=\text{a reflection about a plane}$ (véase la respuesta de countinghaus).