Nota Bene: Para evitar posibles confusiones entre los diferentes usos del símbolo $\theta$ Voy a dejar que $\alpha$ denotan el ángulo, en el sistema de coordenadas polares, del vector unitario $\hat{\mathbf n}_p$ en qué dirección buscamos diferenciar $f(x, y)$ Así que..: $\hat{\mathbf n}_p = (\cos \alpha, \sin \alpha)$ en el punto $p = (-1, 1)$ .
Antes de continuar, creo que, en aras de la claridad, debo señalar que la respuesta aceptada dada por Han de Bruijn no es, en un sentido técnico, correcta, ya que la derivada direccional de una función con respecto a un vector dado es otra función no un vector como lo ha presentado, aunque es cierto que $\nabla f$ puede proyectarse a lo largo de cualquier vector unitario y, de hecho, expresarse, a través de tales proyecciones, en cualquier marco ortonormal. De hecho, utilizaremos dicha expresión en lo que sigue.
Dicho esto, en lo que sigue he intentado trabajar en coordenadas polares en la medida de lo posible:
Lo primero que hay que hacer es expresar la función $f(x, y)$ en coordenadas polares; eso es fácil, usando $x = r \cos \theta$ y $y = r\sin \theta$ obtenemos
$f(r, \theta) = -2r^2 \cos^2 \theta + 3r^2 \sin^2 \theta = r^2(3\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta). \tag{1}$
Ahora bien, para poder aplicar las derivadas direccionales en sistemas de coordenadas polares, o en cualquier sistema de coordenadas no cartesiano o curvilíneo, hay que darse cuenta primero de que los campos de vectores de coordenadas, es decir, los campos de vectores tangentes a las líneas o curvas de coordenadas, no son constantes, como en el caso cartesiano, sino que varían de un punto a otro, normalmente tanto en magnitud como en dirección. Por ejemplo, en el presente caso el $r, \theta$ los campos vectoriales de coordenadas son los vectores tangentes a las curvas $\theta = \text{constant}$ y $r = \text{constant}$ los primeros son sólo líneas radiales parametrizadas por $r$ el segundo son los círculos $r = \text{constant}$ parametrizado por $\theta$ . Hay que tener en cuenta que la magnitud del vector tangente radial $\hat{\mathbf e}_r$ es $1$ en todas partes, pero la del campo tangencial $\hat{\mathbf e}_\theta$ es de hecho $r$ en el punto $(r, \theta)$ esto se puede ver a través de la simple observación de que un incremento angular de tamaño $\Delta \theta$ subtiende un arco de longitud $r\Delta \theta$ en el círculo de radio $r$ por lo que la magnitida del vector tangente a la curva $r = \text{constant}$ es $r$ cuando $\theta$ es el parámetro de recorrido a lo largo de la curva (círculo). Así, un orthnormal coherente con las coordenadas polares en el punto $(r, \theta)$ es $\hat{\mathbf e}_r, r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta$ . Añado estas observaciones para tratar de ilustrar y hacer entender que, dado que la base de los campos vectoriales de coordenadas varía de un punto a otro, en general no poseerá propiedades de invariancia global como las conocidas $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ campos familiares de los sistemas de coordenadas cartesianas, y la implicación de esto es que, para encontrar la derivada direccional $\mathbf v_p[g]$ de alguna función $g$ en algún momento $p$ en un sistema de coordenadas arbitrario $u_1, u_2, . . . , u_n$ (asumiendo por el momento que estamos trabajando en $R^n$ ), primero debemos expandir el vector de dirección $\mathbf v_p$ en términos de los vectores base tangentes a la $u_i$ curvas en $p$ . Una vez hecho esto, la fórmula general $\mathbf v_p[g] = \sum_1^n \mathbf v_p^i (\partial g / \partial u_i)$ donde el $\mathbf v_p^i$ son los componentes de $\mathbf v_p$ en el $u_i$ base de coordenadas, puede aplicarse fácilmente. Entonces, en el caso que nos ocupa, ¿qué tenemos? Bueno, (1) ya presenta $f$ en el sistema de coordenadas polares, por lo que tenemos que calcular el vector unitario de dirección determinado por el ángulo $\alpha$ en el punto $p = (-1, 1)$ que en coordenadas polares es $r_p = \sqrt 2, \theta_p = 3\pi / 4 = -5\pi / 4$ . Esto significa que tenemos que expandir el vector unitario $\hat{\mathbf n}_p = (\cos \alpha, \sin \alpha)$ en términos de los vectores base unitarios $\hat{\mathbf e}_r$ , $r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta$ en el punto cuyas coordenadas cartesianas son $(-1, 1)$ y cuyos polares son $(\sqrt 2, 3\pi/4)$ . Pero esto es fácil de hacer, ya que $\hat{\mathbf e}_r = (-1 / \sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ en ese punto y $r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta$ siendo ortonormal a $\hat{\mathbf e}_r$ puede tomarse como $(-1 / \sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ allí. Tenemos
$\hat{\mathbf n}_p = \langle \hat{\mathbf e}_r, \hat{\mathbf n}_p \rangle \hat{\mathbf e}_r + \langle r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta, \hat{\mathbf n}_p \rangle r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta, \tag{2}$
y si ahora evaluamos los productos internos del lado derecho de (2) encontramos que
$\langle \hat{\mathbf e}_r, \hat{\mathbf n}_p \rangle = \dfrac{1}{\sqrt 2}(\sin \alpha - \cos \alpha) \tag{3}$
y
$\langle r^{-1} \hat{\mathbf e}_\theta, \hat{\mathbf n}_p \rangle = -\dfrac{1}{\sqrt 2}(\cos \alpha + \sin \alpha), \tag{4}$
para que de hecho
$\hat{\mathbf n}_p = \dfrac{1}{\sqrt 2}((\sin \alpha - \cos \alpha)\hat{\mathbf e}_r - (\cos \alpha + \sin \alpha)r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta). \tag{5}$
Hay que tener en cuenta que, al realizar estos cálculos, hemos empleado el hecho de que el producto interior de dos vectores es un invariante independiente del marco utilizado para evaluarlo; así, los cálculos (3) y (4) se han realizado en realidad en un marco cartesiano, aunque los resultados son válidos en el $\hat{\mathbf e}r$ , $r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta$ base. Utilizando (5), es fácil aplicar $\hat{\mathbf n}_p$ a $f(r, \theta)$ ya que
$\hat{\mathbf e}_r[f] = \dfrac{\partial}{\partial r}[f] = 2r(3\sin^2 \theta - 2\cos^2 \theta) \tag{6}$
y
$r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta[f] = r^{-1}\dfrac{\partial}{\partial \theta}[f] = r(6\sin \theta \cos \theta + 4\cos \theta \sin \theta) = 10r\sin \theta \cos \theta; \tag{7}$
evaluamos (6) y (7) en el punto $p$ es decir, en $r_p = \sqrt 2$ , $\theta_p = 3\pi / 4$ para que $\cos \theta_p = -1 / \sqrt 2$ y $\sin \theta_p = 1 / \sqrt 2$ , obteniendo
$\hat{\mathbf e}_r[f] = \sqrt 2 \tag{8}$
y
$r^{-1}\hat{\mathbf e}_\theta[f] = -5\sqrt 2. \tag{9}$
Ahora tomando $\alpha = 2 \pi / 2 = \pi$ para que $\cos \alpha = -1$ , $\sin \alpha = 0$ vemos que
$\hat{\mathbf n}_p[f] = \dfrac{1}{\sqrt 2}(\sqrt 2 - 5\sqrt 2) = -4, \tag{10}$
la derivada direccional buscada.
Espero que esto ayude. Adiós,
y como siempre,
¡¡Fiat Lux!!
