Pregunta : Es el siguiente proposición es verdadera?
Proposición : Para enteros positivos $a,b,c$ donde $b\ge 2$, si $$(1^a+2^a+3^a+4^a+5^a)^b=1^c+2^c+3^c+4^c+5^c$$then $(a,b,c)=(1,2,3)$.
Este es un caso sin solución de esta cuestión , donde se ha demostrado que cada una de las siguientes proposiciones es verdadera para todos los números positivos $a,b,c$ donde $b\ge 2$ :
$\text{If $(1^a+2^a)^b=1^c+2^c$, then $(a,b,c)=(1,2,3)$.}$
$\text{If $(1^a+2^a+3^a)^b=1^c+2^c+3^c$, then $(a,b,c)=(1,2,3)$.}$
$\text{If $(1^a+2^a+3^a+4^a)^b=1^c+2^c+3^c+4^c$, then $(a,b,c)=(1,2,3)$.}$
$\text{If $(1^a+2^+\cdots +{11}^a)^b=1^c+2^c+\cdots+11^c$, then $(a,b,c)=(1,2,3)$.}$
$\text{If $(1^a+2^+\cdots +{12}^a)^b=1^c+2^c+\cdots+12^c$, then $(a,b,c)=(1,2,3)$.}$
$$\vdots$$
He estado tratando de utilizar el mod y algunas desigualdades, pero cada intento ha fracasado. Alguien puede ayudar?
Añadido : voy a añadir el fondo de esta cuestión.
Sabemos que $$\left(1^1+2^1+\cdots+n^1\right)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$$ tiene para cada $n\in\mathbb N$. También, se sabe que, para enteros positivos $a,b,c$ donde $b\ge 2$, si $$\left(1^a+2^a+\cdots+n^a\right)^b=1^c+2^c+\cdots+n^c$$ tiene para cada $n\in\mathbb N$ ,$(a,b,c)=(1,2,3)$.
Entonces, he estado interesado en la siguiente similar, pero completamente diferente pregunta :
Para enteros positivos $a,b,c$ donde $b\ge 2$, si $$\left(1^a+2^a+\cdots+n^a\right)^b=1^c+2^c+\cdots+n^c$$ tiene para un determinado $n\color{red}{\ge 2}\in\mathbb N$, entonces podemos decir que el $(a,b,c)=(1,2,3)$?
Esta pregunta se ha hecho aquí. Se ha demostrado que la respuesta es sí para $n=2,8k-5,8k-4$ donde $k\in\mathbb N$.
Sin embargo, la cuestión no ha recibido ningún tipo de respuestas completas. Por ejemplo, no se sabe si la respuesta es sí para $n=5$, que es el más pequeño sin resolver el caso de que yo estoy pidiendo aquí.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general, hemos
$$ \sum_{k=1}^n k^a = \frac{1} {+1} \prod_{\jmath=1}^{+1} \big( n + n_\jmath\big) \tag 1 $$
Ejemplos
$$ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k &=& \frac{1}{2} n \big( n + 1 \big)\\\ \sum_{k=1}^n k^2 &=& \frac{1}{3} n \big( n + 1 \big) \big( n + 1/2 \big)\\\ \sum_{k=1}^n k^3 &=& \frac{1}{4} n^2 \big( n + 1 \big)^2\\\ \sum_{k=1}^n k^4 &=& \frac{1}{5} n \big( n + 1 \big) \big( n + 1/2 \big) \Big( n + 1/2 - \sqrt{7/12} \Big) \Big( n + 1/2 + \sqrt{7/12} \Big) \end{eqnarray} $$
Así que solo podemos obtener
$$ \left( \sum_{k=1}^n k^a \right)^b = \sum_{k=1}^n k^c,\\ \quad \textrm{si al menos} \quad \left( \frac{1} {+1} \right)^b = \frac{1}{1+c}, \quad \textrm{y} \quad \big( un + 1 \big) b = c + 1. \tag 2 $$
Así que la pregunta es, ¿cuándo tenemos $$ \big( un + 1 \big)^{b-1} = b ? $$
Tan sólo $a=1$, $b=2$ y $c=3$ son las soluciones.
