La convolución de la matriz de coeficientes es también una matriz de coeficientes de

Question

Tengo una pregunta acerca de la convolución de la matriz de coeficientes de la siguiente manera:

Deje $G$ ser un compacto de Lie del grupo. Un Mapa de $f:G\rightarrow \mathbb{C}$ se llama una matriz de coeficiente de si hay un número finito dimensional, (unitario) representación $(\Phi,V)$ $v_1,~v_2 \in V$ tal que $f(g)=(\Phi v_1, v_2)$ todos los $g\in G$. Deje $f,g$ ser dos de la matriz de coeficientes. A continuación, la convolución $f*g$ es también una matriz de coeficiente.

¿Es esto cierto? Pero no tengo ningún contraejemplo para esto. Cualquier sugerencia y comentario se agradece. Muchas gracias!

Answer 1

Lo siento mucho por la tardanza en responder, pero sí, es cierto, y de ello se sigue de la definición. De hecho, si $f(\cdot) = \left\langle \phi(\cdot)v, w\right\rangle$ es una matriz de coeficiente de $G$, e $g$ es cualquier (continua) de la función en $G$, entonces:

$$(f\ast g)(x)$$

$$=\int_{G} f(xh^{-1})g(h) dh$$

$$=\int_{G} \left\langle \phi(xh^{-1})v,w\right\rangle g(h)dh$$

$$=\int_{G} \left\langle \phi(x)\phi(h^{-1})v,w\right\rangle g(h)dh$$

$$=\int_{G} \left\langle \phi(x) g(h) \phi(h^{-1})v,w\right\rangle dh$$

$$=\left\langle \phi(x)\left(\int_{G} g(h)\phi(h^{-1})dh\right)v,w \right\rangle$$

que es también una matriz de coeficiente. Un cálculo similar puede hacerse para el caso de que $f$ es cualquier función continua y $g$ es una matriz de coeficiente. Por lo tanto, la matriz de los coeficientes (de una representación decimal), se constituyen dos caras ideal en el anillo de funciones continuas (con la multiplicación dada por convolución). Por supuesto, también se puede sustituir continua por integrable en todas partes en mi respuesta y el resultado sigue siendo cierto.

Espero que esto ayude!