Demostrar que el vector tangente de una curva cerrada simple gira por $ 2 \pi$

Question

Estoy tratando de demostrar que si $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ ,una función en el intervalo cerrado $[0,1]$ $\mathbb{R^2}$es una simple unidad cerrada curva de velocidad tal que $\gamma '(0)=\gamma '(1)$. Entonces el vector tangente gira exactamente por $2 \pi$.

Yo: creo que tengo una prueba de que yo no estoy seguro de que aunque.Estoy tratando de usar la idea de cubrir espacios para probar esto. Así que lo primero que observo que teniendo en cuenta que el vector tangente a ser $x'(t)+iy'(t)$, obtenemos un mapa de $[0,1]$ $S^1$y por nuestra suposición de que es un bucle cerrado.

Ahora utilizo $\mathbb{R} $ para cubrir los $S^1$ y la cobertura del mapa es $t \rightarrow (\cos (2 \pi t), \sin (2 \pi t))$. Ahora me levante el camino de $\gamma '(t)$$\widetilde{\gamma '(t)}$.

Ahora observamos que un círculo de $\alpha(t)$ que pasa por el punto de $\gamma (0)$ tiene la propiedad de que el levante $\widetilde{\alpha '(t)}$ tiene su punto final en $1$.

Según lo sugerido por Andrey Ryabichev observamos que uno de los dos pedazos debido a que simple y cerrada regular de la curva es diffeomorphic para el disco.Ahora sabemos que $\gamma(t)$ $\alpha (t)$ son homotópica por un diferenciable homotopy $H(s,t)$. Ahora puedo diferenciar este mapa para obtener una homotopy de$\widetilde{\alpha '(t)}$$\widetilde{\gamma '(t)}$. Esto significa que ambos deben tener el mismo extremo. Por lo tanto, hemos terminado. Es esto una prueba de la correcta?

Answer 1

Aquí está mi prueba, que no cubren el círculo de la línea.

Por el Jordan–Schönflies teorema, existe una isotopía $F_t:\mathbb R^2\to \mathbb R^2, t\in [0,1]$$F_0=\mathrm{Id}_{\mathbb R^2}$, de tal manera que $F_1(\gamma)$ es el círculo unitario (debido a $\gamma$ es simple). Esta isotopía no cambia el hecho de $\gamma'\ne0$, por lo que conserva un número de rotación.