Para limitar mi responsabilidad, vamos a considerar sólo los números enteros y, a continuación, una vez que empezamos a hablar acerca de la división de números racionales. En primer lugar hemos comprender intuitivamente, además de:
If I have two apples and you give me three more apples, then I now
have 2 + 3 = 5 apples.
Hay dos rutas que podemos ir hacia abajo: 1) podemos aceptar números negativos existen y tratar con él o 2) podemos aceptar la resta como una operación válida que definitivamente tenemos que entender. Yo creo que el segundo es el mejor enfoque para su pregunta (ya que no quieren aceptar los números negativos a priori).
Así, como además es intuitivo para nosotros, la resta también es:
If I have 5 apples and you take 3 from me, then I am left with 2 apples: 5 - 3 = 2.
El valor cero, ahora se convierte en muy importante, porque sé que si tengo $x$ manzanas y le quitas $x$ manzanas entonces me quedo con ninguno, $0$:
$$
x - x = 0
$$
Así que ahora, ¿qué pasa cuando tengo $5$ manzanas y le quitas $6$? Cuántas manzanas soy de izquierda? Obviamente, la intuición ahora se rompe debido a que usted no tiene $6$ manzanas a renunciar, pero las matemáticas pueden permanecer:
$$
5 - 6 = 5 - (5 + 1) = 5 - 5 - 1 = 0 - 1
$$
Estamos felices en cada paso hasta el último, cuando llego a $0 - 1$ que no tenemos valor para! No entiendo lo de $0 - 1$ representa en exactamente la misma manera que yo no entiendo lo que $\sqrt{-1} = i$ representa, es una definición! Ahora estoy definiendo que $0 - 1 = -1$--$-1$ ahora es un símbolo de ese valor (que yo no comprender plenamente). (y en última instancia, cuando digo que $x$, me refiero realmente a $-1*x$ así como cuando digo $ia$, me refiero a $a*i$)
Así que ahora que tenemos este nuevo símbolo, ¿qué podemos hacer con él? Bueno, podemos probar y añadir a los valores: $5 + -1 = 5 + (0 - 1) = 5 + 0 - 1 = 5 - 1 = 4$--vemos que $5 + -1$ es el mismo que el de $5 - 1$! ¿Qué cerca de $5 - -1$? Este es un poco más complicado. Ahora, obviamente, podemos escribir $5 - (0 - 1)$, pero esto no nos ayuda, porque nosotros no sabemos cómo restar un valor negativo (de hecho, la expresión anterior sólo se convirtiera en $5 - -1$--la pregunta original)! Lo que realmente necesita mostrar ahora es la siguiente:
$$
0 - (0 - 1) = 0 - -1 = +1
$$
Por lo que podemos hacer esto a través de unos manipulación algebraica:
$$
0 - (0 - 1) = x \\
0 = x + (0 - 1) \\
0 = x + 0 - 1 = x - 1 \\
0 + 1 = x + 1 - 1 = x + 0 = x\\
x = 1
$$
Así que aviso que he usado sólo , además para llegar a este resultado! Esto demuestra que $0 - -1 = +1$ por lo tanto podemos reescribir:
$$
5 - -1 = 5 + 0 - -1 = 5 + (0 - -1) = 5 + 1 = 6
$$
En este punto, espero que a los dos nos acepta números negativos como son. La siguiente pregunta es para la multiplicación y la división. Si tengo $5*-2$, entonces, ¿cuál debería ser el resultado? Así que es muy fácil:
$$
5*-2 = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -10
$$
Lo que no es tan fácil de $-2*5$! Hay dos maneras de acercarse a este: 1) aceptamos que la multiplicación es conmutativa y por lo tanto $-2*5 = 5*-2 = -10$ (como ya nos mostró) o 2) un multiplicador negativo significa algo "diferente" a partir de un multiplicador positivo. Un positivo multiplicador de los medios para agregar la cosa se multiplica mientras que un negativo multiplicador de los medios para sustraer la cosa se multiplica. La última definición nos ayudará a definir también una negativa veces negativo.
Entonces, ¿qué es la multiplicación? La multiplicación significa tomar un valor y agregarlo a cero $x$ de veces (lo que el multiplicador es). Si el multiplicador es negativo, entonces significa restar a partir de cero. Por ejemplo:
$$
5*-2 = 0 + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -10 \\
-2*5 = 0 - (5) - (5) = -10 \\
-2*-5 = 0 - (-5) - (-5) = 5 + 5 = +10 \\
-5*-2 = 0 - (-2) - (-2) - (-2) - (-2) - (-2) = +10
$$
De la definición anterior podemos ver que un negativo veces resultados positivos en un valor negativo, positivo veces resultados positivos en un valor positivo y un negativo veces un resultado negativo en un valor positivo. No quiero ir mucho más allá: la división puede ser considerado como algo elemental (como la resta de la adición), pero, en este punto, creo que es más fácil aceptar la división como inversa de la multiplicación y de demostrar que las mismas leyes se aplican (es decir, una división por un positivo y negativo da un negativo, etc.).
