Banda de confianza para el Movimiento Browniano con uniformemente distribuidos a golpear posición

Question

Deje $(B_t)$ el valor del estándar de movimiento Browniano en el intervalo de $[0,1]$. Para un nivel de confianza dado $\alpha \in (0,1)$ una banda de confianza en $[0,1]$ es cualquier función de $u$ con la propiedad de que $$ P(\omega; |B_t(\omega)| < u(t), \quad \forall t\in [0,1])=\alpha. $$ En otras palabras, la probabilidad de que una trayectoria del movimiento Browniano se mantiene dentro de una banda de confianza es $\alpha$. Además, el límite de golpear la posición de los caminos de salir de la banda deben estar distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$. Esta condición puede ser indicado mediante el tiempo de parada $$\tau(\omega) = \inf [ t \in [0,1], |B_t(\omega)|=u(t) ]. $$ A continuación, $\tau $ es el tiempo de los primeros golpes, y uno se pregunta, en que $\tau$ es distribuido uniformemente en $[0,1]$ condicionalmente en el caso de que $\tau$ es finito.

Estoy interesado en

• Referencias y enlaces a la literatura o los papeles de considerar este o problemas similares
• Los pensamientos, las ideas, la discusión

El contexto del problema es bastante aburrida, así que no va a decir aquí. El problema parece ser no trivial y muy interesante.

Answer 1

Si lo entiendo correctamente, usted está buscando una curva de $u(t)$$t \in [0,1]$, de modo que la probabilidad de que el valor absoluto de un estándar de proceso de Wiener no cruza la curva es $\alpha$ y que la densidad de probabilidad de la primera travesía es una constante $1-\alpha$.

La siguiente simulación en R puede ayudar a indicar la forma de $u_\alpha(t)$:

##simulated boundary for standard Wiener process 
##time for absolute value to cross boundary first time 
##uniformly distributed on [0,1] given crosses boundary
steps     <- 100                      #how many steps in (0,1] 
cases     <- 100000                   #how many processes to simulate 
alpha     <- 0.00                     #probability  does not cross boundary
normmat   <- matrix(rnorm(steps*cases), ncol=steps)
brown     <- normmat/sqrt(steps)      #for var=1 after all steps
for (i in 2:steps){brown[,i] <- brown[,i-1] + brown[,i]}      #cumulative sum
absbrown  <- abs(brown) 
boundary  <- rep(0,steps)
for (i in 1:steps){
     boundary[i] <- quantile(absbrown[,i], 
                     probs = (steps-i*(1-alpha))/(steps-(i-1)*(1-alpha)),
                     names = FALSE)
     absbrown    <- absbrown[!(absbrown[,i] > boundary[i]), ] #del crossed
    }
plot( c(0,(1:steps)/steps), c(0,boundary), type="l", xlab="t", 
      ylab="boundary", main=paste("simulated boundary for alpha =",alpha) )
abline(h=0)
abline(v=0)  

Aquí hay un ejemplo con $\alpha =0$. La curva real será más suave.

Aquí es otro. Si George Lowther es correcta, entonces esta es sólo la primera mitad de la anterior curva estirada hacia arriba.

Añadido por comentario: Tomando la mano izquierda de la mitad de la primera gráfica (negro abajo) y tomando una versión pequeña de la segunda (rojo abajo, dividiendo $t$ $2$ y el límite de $\sqrt{2}$), hay un muy buen partido, excepto para el $y$ eje que puede ser un efecto de redondeo en la simulación. Así que George Lowther parece correcto.

Answer 2

Los pensamientos, las ideas y los debates (no respuestas):

Considere la variable aleatoria $X(\omega)= sup_{t \in [0,1]} |B_t(\omega)|$. Deje $c^*$ ser el superior de $1-\alpha$ cuantil de esta distribución; i.e, $P(\{\omega \in \Omega | X(\omega)>c^*\})=1-\alpha$.

El primer $u(t)$ que vino a mi mente fue la siguiente: $u(t)=c^*$ todos los $t \in [0,1]$; de modo que la banda de confianza es una constante. Esto funciona, ¿verdad? Además, esto no es más conservador

$\{\omega | |B_t(\omega)|\leq c^* \quad \forall \quad t \in [0,1]\} \subseteq \{\omega | X(\omega) \leq c^* \}$.

pero el otro inclusión también se mantiene.

Parece un problema interesante. Presumiblemente hay diferentes regiones de confianza que se puede generar. Alguna idea sobre lo que son las propiedades que te gustaría tener? Yo estaría interesado en el contexto de esta inferencia problema!