Sí, esto se puede hacer sin hacer la $C^*$-álgebra de hormigón en $B(H)$. Todo lo que necesitamos es que el $z=0$ fib $z^*z=0$, que resulta de la $C^*$-identidad $\|z^*z\|=\|z\|^2$.
Lema Deje $a\in A$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.
1 - $p=a^*a$ es idempotente, es decir,$p^2=p$.
2 - $aa^*a=a$
3 - $a^*aa^*=a^*$
4 - $q=aa^*$ es idempotente.
Prueba
$1\Rightarrow 2:$ Aquí está el truco principal. Set $z:=aa^*a-a$. Tenga en cuenta que $z^*z=p^3-p^2-p^2+p=0$, de donde $z=0$.
$2\Rightarrow 3:$ De los adjuntos.
$3\Rightarrow 4:$ A la izquierda-multiplicar $3$$a$.
$4\Rightarrow 1:$ Aplicación $1\Rightarrow 2$ para el elemento $a^*$ en lugar de $a$, obtenemos $a^*aa^*=a^*$. Haga la multiplicación por $a$ rendimientos $1$. $\Box$
Por definición, un elemento $a$ es una isometría parcial en abstracto, $C^*$- álgebra si $a^*a$ es una proyección. Por supuesto, el último siempre es auto-adjunto. Por lo $a$ es una isometría parcial iff $a^*a$ es idempotente. De ello se desprende, en particular, que $a$ es una isometría parcial iff $a^*$ es una isometría parcial.
Observación de Dos proyecciones de $p,q$ como arriba se llama Murray-von Neumann equivalente. El lema anterior ayuda a probar que la última es una relación de equivalencia (es decir, la transitividad, que es la parte un poco difícil).
