Problema uniforme continunity en $[0,\infty)$

Question

La pregunta es la siguiente:

$f(x)$ es uniformemente continua en a$[0, \infty)$, y para cualquier $x > 0$, $\lim\limits_{n\to \infty}f(x+n) = 0$, donde $n \in \mathbb{Z}_{>0}$. Demostrar que $\lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 0$.

Sugerencia: Divida $[0, 1]$ en pequeños intervalos de igual longitud

No entiendo lo que esta pregunta significa. Qué es exactamente lo que está pidiendo ser demostrado? ¿No sería obvio que $\lim\limits_{x\to \infty} f(x) = 0$ desde $\lim\limits_{n\to \infty}f(x+n) = 0$. También, ¿cuál es el significado o la ayuda de la pista?

Gracias por su ayuda! Estoy tan confundido...

Answer 1

Fix $\varepsilon>0$. Desde $f$ es uniformemente continua, existe $\delta>0$ tal que $x,y\geq 0$ $|x-y|<\delta$ implica que el $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Ahora elija $m\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{m}<\delta$, y deje $x_1=\frac{1}{m},x_2=\frac{2}{m},\dots,x_m=1$. Por hipótesis, para cada una de las $1\leq i\leq m$, se puede elegir una $N_i$ tal que $|f(x_i+n)|<\varepsilon$ todos los $n\geq N_i$. Tomando $N=\max\{N_1,\dots,N_m\}$, se deduce que $$ |f(x_i+n)|<\varepsilon $$ para todos los $n\geq N$, y todos los $1\leq i\leq m$.

Para el último paso, supongamos que $x>N$. Hay un número entero $n\geq N$ tal que $y=x-n\in[0,1]$, por lo tanto, hay algunos $i$ tal que $|y-x_i|\leq \frac{1}{m}<\delta$. Por lo tanto, también $$|(x_i+n)-x|=|(x_i+n)-(y+n)|<\delta$$ por lo tanto $$ |f(x)|\leq |f(x)-f(x_i+n)|+|f(x_i+n)|<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon$$

Desde $\varepsilon$ cualquier número real positivo, esto demuestra que $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$.

Answer 2

¿No sería obvio que $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ desde $\lim\limits_{n \to \infty} f(x + n) = 0$.

Sí, eso es exactamente el punto. Sin embargo, usted tendrá que incorporar la definición de continuidad uniforme en su respuesta. (Si $f$ no fueron uniformemente continua, que el límite de $f(x+n)$ podría no existir).