$x^2 + y^2 = -1$ es una extraña ecuación porque no tiene soluciones sobre $\Bbb R$. Quiero contar el número de soluciones que tiene más de $\Bbb Z / p$ donde $p$ es primo.
Si $p = 2$ ha $p$ soluciones. Esto tiene que ver con el hecho de que el cuadrado es un campo automorphism.
Si $p \equiv 1 \pmod{4}$, entonces hay un $i$ tal que $i^2 = -1$, por lo que $$x^2 + y^2 = -1 \implies \left({x \over i}\right)^2 + \left({y \over i}\right)^2 = 1 \implies \left({x \over i} + y \right)\left({x \over i} - y \right) = 1$$ which has $p - 1$ soluciones.
Si $p \equiv 3 \pmod{4}$, entonces la situación es más complicada. La cosa que he notado es que el $A = \{x \mid x^2 + y^2 = -1\}$ $B = \{x \mid y^2 - x^2 = 1\}$ forma una partición de $\Bbb Z/p$. La razón de ser de que $x \not\in A \implies (-1 - x^2 \mid p) = -1 \implies (1 + x^2 \mid p) = 1 \implies (\exists y)\,1+x^2 = y^2 \implies x \in B$, y viceversa. Observe también que $A \cap B = \emptyset$. Así, obtenemos $|A| = |\Bbb Z / p| - |B| = p - |B|$. Para determinar el $|B|$, utilice el hecho de que para cada $(x,y)$ para los que $y^2 - x^2 = 1$, $(x,-y)$ también satisface la ecuación, por lo $|B|$ es el número de soluciones a $y^2 - x^2 = 1$ dividido por $2$,$\frac{p-1}{2} \therefore \,|A| = {p + 1 \over 2}$. Ahora es fácil ver que el número de soluciones a$x^2 + y^2 = -1$$2|A|$$p+1$.
Cualquier método más rápido?