Forma alternativa de contar el número de soluciones de la ecuación de $x^2 + y^2 = -1$ $\Bbb Z /p$

Question

$x^2 + y^2 = -1$ es una extraña ecuación porque no tiene soluciones sobre $\Bbb R$. Quiero contar el número de soluciones que tiene más de $\Bbb Z / p$ donde $p$ es primo.

Si $p = 2$ ha $p$ soluciones. Esto tiene que ver con el hecho de que el cuadrado es un campo automorphism.

Si $p \equiv 1 \pmod{4}$, entonces hay un $i$ tal que $i^2 = -1$, por lo que $$x^2 + y^2 = -1 \implies \left({x \over i}\right)^2 + \left({y \over i}\right)^2 = 1 \implies \left({x \over i} + y \right)\left({x \over i} - y \right) = 1$$ which has $p - 1$ soluciones.

Si $p \equiv 3 \pmod{4}$, entonces la situación es más complicada. La cosa que he notado es que el $A = \{x \mid x^2 + y^2 = -1\}$ $B = \{x \mid y^2 - x^2 = 1\}$ forma una partición de $\Bbb Z/p$. La razón de ser de que $x \not\in A \implies (-1 - x^2 \mid p) = -1 \implies (1 + x^2 \mid p) = 1 \implies (\exists y)\,1+x^2 = y^2 \implies x \in B$, y viceversa. Observe también que $A \cap B = \emptyset$. Así, obtenemos $|A| = |\Bbb Z / p| - |B| = p - |B|$. Para determinar el $|B|$, utilice el hecho de que para cada $(x,y)$ para los que $y^2 - x^2 = 1$, $(x,-y)$ también satisface la ecuación, por lo $|B|$ es el número de soluciones a $y^2 - x^2 = 1$ dividido por $2$,$\frac{p-1}{2} \therefore \,|A| = {p + 1 \over 2}$. Ahora es fácil ver que el número de soluciones a$x^2 + y^2 = -1$$2|A|$$p+1$.

Cualquier método más rápido?

Answer 1

Dado un campo finito $F$, vamos a $C = F[i]/(i^2+1)$. Definir la asignación $N:C \to F$ $N(x+iy) = x^2 + y^2$ y se nota que es un multiplicativo homomorphism de$C^*$$F^*$.

Ahora vamos a $X = \{x \in C \mid N(x) = 1\}$$Y = \{x \in C \mid N(x) = -1\}$. El objetivo es determinar el $|Y|$.

Tenga en cuenta que no existe un $e \in Y$. Voy a omitir la prueba.

Definir la asignación $f: X \to Y$$f(x) = ey$. En primer lugar, el codominio es correcto porque dado $x \in X$, $N(ex) = N(e)N(x) = (-1) \times 1 = -1$. Segundo, la asignación es inyectiva porque $f(x) = f(x') \implies ex = ex' \implies x = x'$. Por último, la asignación es surjective porque dado $y \in Y$, $N\left({y \over e}\right) = 1$ por lo ${y \over e} \in X$$f\left(y \over e\right) = e{y \over e} = y$.

Por lo $f$ es un bijection. Esto implica que sólo necesitamos recuento $X$ encontrar $|Y|$. Aquí están algunas maneras de hacerlo.

Answer 2

Queremos contar el número de puntos de una curva de $x^2+y^2=-1$. Primero vamos a contar el número de puntos en la curva correspondiente en el espacio proyectivo y, a continuación, resta el número de puntos en el infinito.

La primera parte se resuelve por "racional parametrización": a partir de nuestra curva de $X^2+Y^2=-Z^2$ tiene grado 2, cualquier línea que cruza cruza en exactamente dos puntos; por lo que para un punto de $O$ en la curva de cualquier línea a través de $O$ interseca la curva en exactamente un punto más - es decir, una cónica ha $p+1$ puntos (y es isomorfo a $\mathbb P^1(\mathbb F_p)$, lo que significa).

Ahora el resto es fácil: en el infinito (es decir, en la línea de $Z=0$) tenemos la ecuación de $X^2+Y^2=0$ - por lo que hay 2 puntos si $(-1/p)=1$ y cero puntos en caso contrario.

Esto nos da la respuesta $p-(-1/p)$.

P. S. tenga en cuenta que el mismo método funciona para cualquier (no degenerada) cónico - por ejemplo, para $x^2+y^2=1$ desde su anterior pregunta.