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Campo de vectores en colector de riemann

Deje $M$ ser una de riemann colector y $N$ ser un submanifold de $M$. Deje $v$ ser un campo de vectores en $N$. A continuación, $v$ puede ser covariantly diferenciadas a lo largo de $\gamma$, resultando en un nuevo campo $u$. (Aquí considerar la posibilidad de Levi-Civita de conexión)

Debido a $N$ está incrustado en $M$ $\gamma$ $v$ puede ser "llevado" en $M$. Deje que indiquemos en $M$ de la misma manera como en $N$. Vamos a considerar la posibilidad de Levi-Civita de conexión en $M$ y diferenciar $v$ a lo largo de $\gamma$, resultando en $w$ campo.

Es cierto que la proyección ortogonal de a $w$ $T_p M$ $T_p N$ es igual a $u$?

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Kevin Dente Puntos 7732

Sí, esto es cierto. Deje $p :TM\vert_N \to TN$ ser la proyección ortogonal. Por la singularidad de la de Levi-Civita de la conexión, es suficiente para demostrar que la conexión de $\nabla^N$ $N$ definido por $\nabla^N_X Y = p(\nabla^M_X Y)$ donde $X$ $Y$ son campos vectoriales en $N$ (técnicamente a tomar $\nabla^M_X Y$ necesitamos $Y$ a ser un campo de vectores en $M$ pero $\nabla^M_X Y$ sólo depende de $Y$ a lo largo de $X$ , por lo que podemos extender a $M$ de todos modos queremos y este va a ser bien definido) es compatible con la métrica y torsionfree. Para la compatibilidad con la métrica, vamos a $X, Y, Z$ campos vectoriales en $N$ $\tilde X, \tilde Y, \tilde Z$ denotando extensiones de a $M$. A continuación, en $N$ hemos $$ X \langle Y, Z\rangle = \tilde X \langle \tilde Y ,\tilde Z\rangle = \langle \nabla^M_{\tilde X} \tilde Y, \tilde Z\rangle + \langle \tilde Y, \nabla^M_{\tilde X} \tilde Z\rangle = \langle \nabla_{\tilde X}^M \tilde Y, Z\rangle + \langle Y, \nabla_{\tilde X}^M \tilde Z\rangle$$ $$ = \langle p(\nabla_{\tilde X}^M \tilde Y), Z\rangle + \langle Y, p(\nabla_{\tilde X}^M \tilde Z)\rangle = \langle \nabla^N_{X} de {Y, Z \rangle + \langle Y, \nabla_X^N Z\rangle.$$

Torsionfree viene del hecho de que $p([\tilde X, \tilde Y]) = [X,Y]$ (lo que puede comprobarse fácilmente en el local de la rebanada de coordenadas).

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