$\mathbb{Q}[x,y]/\langle x^2+y^2-1 \rangle$ es una parte integral de dominio

Question

1. Cómo puedo probar que $\mathbb{Q}[x,y]/\langle x^2+y^2-1 \rangle$ es una parte integral de dominio?

2. Además, tengo que demostrar que su campo de fracciones es isomorfo al campo de funciones racionales $\mathbb{Q}(t)$?

(La pregunta es tomado de la UC Berkeley Examen Preliminar, en el Otoño de 1995.)

Answer 1

Sugerencia $\ $ $\rm\:1\!:\ x^2\!+y^2\!-1\ $ es irreductible (así prime) desde $\rm\ 1\!-\!y^2\ $ no es un cuadrado en la UFD $\rm\:\mathbb Q[y]\:,\:$ de hecho, el primer $\rm\:y\!-\!1\:$ se produce impar de energía (equivalente aplicar Eisenstein utilizando el prime $\rm\: y\!-\!1\:$).

Para la parte $2,$ además de la entrada de la Wikipedia sobre ternas Pitagóricas, asegúrese de ver también el artículo sobre la tangente de la mitad de ángulo de la fórmula. Esto proporciona más de la intuición detrás de tales racional de la parametrización. En particular, se explica la sustitución de Weierstrass, que es ampliamente utilizado para reducir el problema de la integración de funciones racionales $\rm\:R(sin(\theta),cos(\theta))\:$ a la mucho más simple problema de la integración de una función racional $\:r(t).$

Answer 2

Para 1., acabo de probar directamente que $x^2 + y^2 -1$ es un primer elemento de $\mathbb Q[x,y]$. Si desea, puede usar Gauss, lema, que se reduce a mostrar que es irreductible, que es particularmente simple. (Pero también se puede demostrar que es el primer directamente con bastante facilidad \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \endusted será más o menos recuperar la prueba del lema de Gauss, en este caso especial.)

2., usted necesidad racional de la parametrización de las cónicas $x^2 + y^2 - 1$. Esta es una parte estándar de la teoría de ternas pitagóricas. (Ver la entrada de la wikipedia; tenga en cuenta que la cantidad de llamados a $m/n$ no es su $t$.) El mismo geométricas argumento muestra que cualquier cónica puede ser racionalmente con parámetros si contiene al menos un punto, definida sobre el campo de tierra.