Cuadrática Ecuaciones Diophantine

Question

Tomo nota de que la ecuación de Diophantine, $x^2 + y^2 = z^2$,$x, y, z \in \mathbb{N}$, tiene una infinidad de soluciones. De hecho, $(x, y, z) = (3,4,5)$ proporciona una solución, y para cualquier $k \in \mathbb{N}$ : $(kx, ky, kz ) = (3k, 4k, 5k)$ proporciona una solución.

Sin embargo, asumiendo $x, y, z \in \mathbb{N}$$x, y > 1$, es la misma verdad para el Diophantine ecuaciones,

$x^2 +y^2 = z^2 + 1$,

$x^2 + y^2 = z^2 + 2$,

$x^2 + y^2 = z^2 + 3$

y, más en general, para $x^2 + y^2 = z^2 + n$, para cualquier $n \in \mathbb{N}$?

En particular, hay infinitamente muchos triples $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ que $x^2 + y^2 = z^2 + n$ es cierto infinitamente-muchos de los valores de $n \in \mathbb{N}$?

Answer 1

$x^2+y^2 = z^2+n$ es equivalente a $x^2-n = (z-y)(z+y)$.

Cualquier compuesto de número impar se puede escribir como $(z-y)(z+y)$ para algunos enteros $z$$y$, por lo que es suficiente para mostrar que el $x^2-n$ contiene una infinidad de compuestos de números impares.

Si $n$ es impar, entonces usted puede simplemente recoger $x = 2kn$ cualquier $k$. A continuación, $x^2-n$ es un múltiplo de a $n$ y el impar, que le da dos enteros $y$ $z$ que satisface la ecuación. Se termina con la familia de soluciones de $(2kn, 2k^2n-(n+1)/2, 2k^2n-(n-1)/2)$

Si $n$ es par, entonces usted puede simplemente recoger $x=2k(n-1)+1$ cualquier $k$. A continuación,$x^2-n \equiv 1^2-1 = 0 \pmod {n-1}$, y es extraño así que de nuevo, esto le da dos enteros $y$ $z$ que satisface la ecuación. Se termina con la familia de soluciones de $(2k(n-1)+1,2k^2(n-1)+2k-n/2,2k^2(n-1)+2k-1+n/2)$

Answer 2

EDIT: no puedo analizar la última pregunta en el post original. Sin embargo, dado cualquier entero $N,$ hay infinitamente muchos triples $(x,y,z)$ que resolver $$ x^2 + y^2 - z^2 = N^2 $$ using the process below. A "seed" triple may be taken with any $x=z, \; y = N.$ If we just take $\gcd(x,N) = 1$, así, obtenemos primitivo triples.

ORIGINAL:de Hecho, el grupo de automorphs de $x^2 + y^2 - z^2$ es conocido. Es infinito, y es generada por tres matrices, junto con la negación de cualquiera de $x,y,z$ si que es necesario, no estoy seguro. Estoy tratando de encontrar una pregunta que muestra las matrices, sin suerte hasta el momento. Sin embargo, lo que significa es que, si hay una única solución a $x^2 + y^2 = z^2 + k$ para algunos entero $k,$ positivo o negativo o cero, entonces hay infinitamente muchos, y podemos viajar entre ellos por la multiplicación de la matriz de los vectores columna $(x,y,z)^T.$

Creo que fue alguna pregunta aquí o en MO más probable, sobre la estructura de ternas Pitagóricas. Tenga en cuenta que el experto en esto es llamado Ian Agol. Hay solo un comentario por él en este:

http://mathoverflow.net/questions/33697/assistance-with-understanding-parent-child-relationships-in-pythagorean-triples

Aquí vamos, http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_of_Pythagorean_triples
estas matrices debido a F. J. M. Barning (1963)

$$ A = \; \left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \end{array} \right) \; \; B = \; \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{array} \right) \; \; C = \; \left( \begin{array}{rrr} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{array} \right) $$

Answer 3

Creo que la respuesta a tu pregunta es no. Puede haber una infinidad de soluciones para la diophantine ecuaciones usted ha declarado, sin embargo no se puede clasificar como en el $x^2+y^2=z^2$ de los casos. Lo que quiero decir es que en las ecuaciones $x^2+y^2=z^2+n$, si usted tiene una solución $(x_1,y_1,z_1)$, no se puede generalizar esta solución como a $(kx_1,ky_1,kz_1)$, ya que tienen el factor de n. Por ejemplo, digamos que tenemos la ecuación de $x^2+y^2=z^2+12$. (5,6,7) es una solución de esta ecuación, sin embargo cuando el plugin de valores (10,12,14) la quation no se sostiene. Así que lo que estoy diciendo es que usted no puede encontrar una infinidad de soluciones para la diaphontine ecuaciones $x^2+y^2=z^2+n$ con el mismo método que se ha aplicado en la phytogaros ecuación. Sin embargo, usted puede encontrar una infinidad de soluciones mediante otro proceso de parametrización. Espero que esto ayude!

Answer 4

Para el caso especial cuando el número es un cuadrado y a nosotros nos es dada. Es decir, en la ecuación:

$X^2+Y^2=Z^2+q^2$

donde el número de $q$ - nos a dado.

Entonces las soluciones de la ecuación puede ser escrita ospolzovavshis Pell: $p^2-2k(k-1)s^2=\pm{q}$

$k$ - nos puede ser cualquier cosa.

$X=p^2+2(k-1)ps+2k(k-1)s^2$

$Y=p^2+2kps+2k(k-1)s^2$

$Z=p^2+2(2k-1)ps+2k(k-1)s^2$

Si hacemos uso de las soluciones de la ecuación de Pell: $p^2-2s^2=\pm1$ Las soluciones de la forma:

$X=sp^2+2qps\pm(qp^2+2(p+q)s^2)$

$Y=2qps+2s^3\pm(qp^2+2(p+q)s^2)$

$Z=sp^2+4qps+2s^2\pm(qp^2+2(p+q)s^2)$