Ayuda con $\large \intop\frac{\sqrt{x^2-4}}{x} dx$

Question

Tengo que $\large \intop\frac{\sqrt{x^2-4}}{x} dx$. ¿Puedes decirme qué debo sustituir?

¿Debo sustituir $x$ o $\sqrt{x^2-4}$? ¿Sería mejor si sustituyera $x=\tan u$ o debería sustituir $\sqrt{x^2-4}= \tan u$?

Answer 1

Sustituyendo $x=2 \sec(u)$ y $dx=2 \tan(u)du$ entonces

$\sqrt{x^2-4}= \sqrt{4 \sec^2(u)-4}$ y $u=\sec^{-1}(\frac{x}{2})$

$$I=2\int\tan^2(u)du$$

Escribimos $\tan^2(u)$ como $\sec^2(u)-1$

$$I=2\int\sec^2(u)-1du\\=2\int\sec^2(u)-2\int du\\=2\tan(u)-2u+C$$

Sustituimos de vuelta para $u=\sec^{-1}(\frac{x}{2})$

$$I=2\tan(\sec^{-1}(\frac{x}{2}))-2\sec^{-1}(\frac{x}{2})+C$$

Usando la identidad $\tan(\sec^{-1}())=\sqrt{1-\frac{1}{^2}}$ obtenemos

$$I=\sqrt{x^2-4}-2\sec^{-1}(\frac{x}{2})+C $$