Ayuda con $\large \intop\frac{\sqrt{x^2-4}}{x} dx$

Question

Tengo que $\large \intop\frac{\sqrt{x^2-4}}{x} dx$. ¿Puedes decirme qué debo sustituir?

¿Debo sustituir $x$ o $\sqrt{x^2-4}$? ¿Sería mejor si sustituyera $x=\tan u$ o debería sustituir $\sqrt{x^2-4}= \tan u$?

Answer 1

La sustitución $x=2\sec t$ funciona bien.

Terminarás queriendo integrar una constante por $\tan^2 t$. Reescribe $\tan^2 t$ como $\sec^2 t-1.

Observación: Hay otros enfoques, por ejemplo la sustitución de funciones hiperbólicas de M. Strochyk.

O podemos reescribir nuestro integrando como $\frac{x\sqrt{x^2-4}}{x^2}$. Luego dejamos que $x^2-4=u^2$. Por lo tanto, $2x\,dx=2u\,du$. Terminamos queriendo $\int \frac{u^2\, du}{u^2+4}$. Reescribe $\frac{u^2}{u^2+4}$ como $1-\frac{4}{u^2+4}.

Otra sustitución que funciona bastante bien aquí es $x=\frac{1}{t}$.

En un primer curso de cálculo en Norteamérica, $x=2\sec t $ sería el enfoque estándar esperado.

Answer 2

Puedes intentar varias sustituciones, quizás más elementales y tal vez más fáciles:

$$(1)\;\;\text{Primera sustitución :}\;\;u=x^2-4\Longrightarrow du=2xdx\Longrightarrow dx=\frac{du}{2\sqrt{u+4}}\;\;,\;\;\text{entonces :}$$

$$\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx=\int\frac{\sqrt u}{2(u+4)}du$$

$$(2)\;\;\text{Segunda sustitución :}\;\;\;\;\;\;\;\;y^2=u\Longrightarrow 2ydy=du\;\;,\;\;\text{entonces :}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\int\frac{\sqrt u}{2(u+4)}du=\int\frac{y^2}{y^2+4}dy=\int\left(1-\frac{4}{y^2+4}\right)dy=$$

$$=y+2\int\frac{\frac{1}{2}dy}{1+\left(\frac{y}{2}\right)^2}=y+\arctan\frac{y}{2}+C$$

Y ahora regresa a tu variable original para obtener:

$$\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx=\sqrt{x^2-4}-2\arctan\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}+C$$

Answer 3

Pista:
Intenta la sustitución $x=2\cosh{u}.$ Entonces $$x^2-4=4(\cosh^2{u}-1)=4\sinh^2{u}, \;\; dx=2\sinh{u} \ du,$$ por lo tanto $$\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx=\int \frac{2 \sinh{u} \cdot 2\sinh{u} \ du}{\cosh{u}}=4\int \frac{ \cosh^2{u}-1 }{\cosh{u}}\ du= \\ =4 \int{\cosh{u} \ du} - 4\int{\frac{du}{\cosh{u}}}=4\sinh{u}-4\int{\frac{2 \ du}{e^u+e^{-u}}}= \\ = 4\sinh{u}-8\int{\frac{e^u \ du}{e^{2u}+1}}=4\sinh{u}-8\arctan{e^u}.$$

Answer 4

Como dice la expresión, hay más de una forma de desollar un gato. (Lo siento, PETA).

Diría que la sustitución $x=2\sec t$ es la opción más obvia. Elimina la raíz cuadrada (después de hacer uso de la identidad $\sec^2t-1=\tan^2 t$), debería dejar algo manejable y la resustitución no debería ser tan mala.

La substitución $u=\sqrt{x^2-4}$ es menos obvia. Si reescribes la integral como

$$\int\frac{x(x^2-4)dx}{x^2\sqrt{x^2-4}}=\int\big(\frac{x^2-4}{x^2}\big)\big(\frac{xdx}{\sqrt{x^2-4}}\big)$$

ahora puedes ver que como $$\int\frac{u^2du}{u^2+4}=\int du-4\int\frac{du}{u^2+4}$$

lo cual debería llevar a una solución.

Answer 5

$$ \begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x} d x = & \int \frac{x^2-4}{x \sqrt{x^2-4}} d x \\ = & \int \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} d x-4 \int \frac{1}{x \sqrt{x^2-4}} d x \\ = & \sqrt{x^2-4}-4 \int \frac{y}{\sqrt{\frac{1}{y^2}-4}} \frac{d y}{-y^2}, \quad \textrm{ donde } y=\frac{1}{x} \\ = & \sqrt{x^2-4}+4 \int \frac{d y}{\sqrt{1-4 y^2}} \\ = & \sqrt{x^2-4}+2 \sin ^{-1}(2 y)+C \\ = & \sqrt{x^2-4}+2 \sin ^{-1}\left(\frac{2}{x}\right)+C \end{aligned} $$