si $x+y+z=2$$xy+yz+zx=1$, Demuestran $x,y,z \in \left [0,\frac{4}{3} \right ]$

Question

si $x+y+z=2$$xy+yz+zx=1$, Demuestran $x,y,z \in \left [0,\frac{4}{3} \right ]$

cosas que he hecho:la primera cosa a hacer es mostrar que $x,y,z$ son no-negativos. $$xy+yz+zx=1 \Rightarrow zx=1-yz-xy \Rightarrow zx=1-y(z+x)\Rightarrow zx=1-y(2-y)=(y-1)^2$$

esta igualdad muestra que $x$ $z$ tienen el mismo signo(ambos positivos o negativos).como esto se puede concluir que $xy=(x-1)^2$$yz=(x-1)^2$.Así que todas las variables son positivas o negativas.Si todos ellos son negativos, a continuación,$x+y+z \neq 2$, por lo que todos los de $x,y,z$ son no negativos. No sé qué hacer para mostrar que ninguno de $x,y,z$ será mayor que $\frac{4}{3}$.

Answer 1

Nota también tenemos $x^2+y^2+z^2=2$ (expandir $(x+y+z)^2=4$).

Nota:$y^2+z^2 \geq 2yz=2-2x(y+z)=2-2x(2-x)$, por lo que

$x^2+y^2+z^2 \geq 3x^2-4x+2$

Pero $3x^2-4x+2 >2$$x>\frac{4}{3}$.

Answer 2

Considere el polinomio: $$ p(t)=(t-x)(t-y)(t-z) = t^3-2t^2+t+k = t(t-1)^2+k. $$ Sabemos que $p(t)$ tiene tres raíces reales, por lo tanto $-k=xyz$ es acotada entre los dos valores de $t(t-1)^2$ en sus puntos estacionarios. De un punto fijo, obviamente, se produce por $t=1$, el otro se produce por $t=1/3$. Las tres raíces reales de $p(t)$ por lo tanto pertenecen al intervalo de $[0,u]$ donde $u>1$ es el único número real tal que $$ u(u-1)^2 = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)^2 = \frac{4}{27}. $$ Ahora es sencillo comprobar que $u=\frac{4}{3}$.

Para una prueba visual:

$\quad$

Answer 3

Usted tiene

$$ 1=xy+z(x+y)=xy+(x+y)(2-(x+y))=xy+x(2-x)+2y-y^2, $$

así que

$$ 0=y^2+(x-2)y+x^2-2x+1=\bigg(y+\frac{x 2}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}x^2-x $$

y, por tanto,$x-\frac{3}{4}x^2 =-\bigg(y+\frac{x-2}{2}\bigg)^2 \leq 0$. Así tenemos $\frac{3x}{4}(\frac{4}{3}-x) \leq 0$, es decir,$x(x-\frac{4}{3}) \geq 0$, por lo tanto $x\in [0,\frac{3}{4}]$. Por simetría, lo mismo vale para $y$ o $z$.

Answer 4

Podemos de hecho, demostrar que, si $x \le y \le z$ $x \in[0,1/3] ,y \in [1/3,1] , z \in [1/4/3] $

Considerar el cúbicos cuyas raíces se $x,y,z$ . También vamos a $xyz=k$ Entonces por veita relaciones cúbicos se $f(m)=m^3-2m^2+m+p$.

Ahora , $f'(m)=3m^2-4m+1=(3m-1)(m-1)$ Por lo $f$ aumenta en el intervalo de $[-\infty,1/3]\cup[1,\infty] $

Observe que, $f(\frac{1}{3})=k+\frac{4}{27}$, $f(1)=k$ Por lo $f$ tienen tres raíces iff $k+\frac{4}{27} \ge 0, k \le 0 $ Una cosa más interesante es $f(0)=k, f(4/3)=\frac{4}{27}+k$. Así que hay un cambio de signo entre $x\in [0,\frac{1}{3}]$ $x \in [\frac{1}{3},1]$ y $x \in [1,\frac{4}{3}] $

Así que por la continuidad de polinomios, podemos deducir que no es raíz entre cada uno de estos intervalos. Y esto exactamente lo que queríamos demostrar $\Box$