$$A=\frac{1}{9} \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4\\ 4 & -1 & 8\\ 4 & 8 & -1 \end{pmatrix}$$
¿Cómo puedo demostrar que A es una rotación? ¿Cómo encuentro el eje de rotación y el ángulo de rotación?
El documento: matrices ortogonales es una referencia de excelencia para este problema.
Los pasos son los siguientes.
Demuestre que el determinante es 1. Las matrices con determinante -1 son reflexiones sin rotaciones.
Encuentra los valores propios. Los tres valores propios de la matriz son $1, \text{e}^{-i \theta}$ , donde $\theta$ es el ángulo de rotación.
encontrar el vector propio para el valor propio 1. Este es el eje de rotación.
Solución: Que el determinante es 1 se puede comprobar directamente.
Los valores propios son $\lambda=1, \pm 1$ . Así que el El ángulo de rotación es $0$ .
El vector propio del valor propio $1$ es $(1/2,1,1)$ . Este es el eje de rotación .
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Para empezar, encuentre el vector propio con valor propio 1.
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¿Puedo probar que esto es una rotación, porque $det(A)=1$ ?
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No. Muchas matrices tienen $\det A = 1$ sin ser rotaciones. Vea las respuestas más abajo. Básicamente hay que comprobar $A^T A = I$ .