Encontrar el eje de rotación y el ángulo de una matriz

Question

$$A=\frac{1}{9} \begin{pmatrix} -7 & 4 & 4\\ 4 & -1 & 8\\ 4 & 8 & -1 \end{pmatrix}$$

¿Cómo puedo demostrar que A es una rotación? ¿Cómo encuentro el eje de rotación y el ángulo de rotación?

Answer 1

Usted tiene $A^T A = I$ . Por lo tanto, $A$ es una rotación. Como $\det A = 1$ Es apropiado.

Mediante una inspección, $A \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\2\end{bmatrix}$ que da el eje de rotación.

La inspección también muestra que $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -5 \end{bmatrix}$ son vectores propios ortogonales correspondientes al valor propio (repetido) $-1$ . Por lo tanto, vemos que el ángulo de rotación es $\pi$ .

Explícitamente, si dejamos que $R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & -5 \end{bmatrix}$ entonces $R^{-1} = \frac{1}{405} \begin{bmatrix} 45 & 90 & 90 \\ 162 & -81 & 0 \\ 18 & 36 & -45\end{bmatrix}$ y $R^{-1} A R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ de lo que se deduce que el ángulo de rotación es $\pi$ .

Answer 2

La forma más sencilla de encontrar el ángulo de rotación es tomar la traza de la matriz, la suma de los elementos diagonales. Según la respuesta de Cameron Buie esto es igual a $1 + 2\cos(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo de rotación. $\theta$ puede entonces determinarse hasta el signo que dependerá de la orientación del eje de rotación elegido.

Para las matrices no simétricas, el eje de rotación se puede obtener de la parte asimétrica de la matriz de rotación, $S = .5(R-R^\mathrm{T})$ ;

Entonces, si $S=(a_{ij})$ el eje de rotación con magnitud $\sin\theta$ es $(a_{21},a_{02},a_{10})$ .

Answer 3

Si una transformación lineal $T:\Bbb R^3\to\Bbb R^3$ es una rotación no trivial, entonces el conjunto $\{x\in\Bbb R^3:T(x)=x\}$ será el eje de rotación, ya que la rotación no trivial alrededor de un eje mueve cada punto excepto los puntos del eje. Además, si el determinante de $T$ no es $1,$ entonces no es una rotación (¿por qué?), aunque ya has visto que $\det(A)=1$ en este caso.

Aquí, estamos trabajando con la transformación $T(x)=Ax$ por lo que el conjunto $\{x\in\Bbb R^3:T(x)=x\}$ es sólo el eigespacio de $A$ correspondiente al valor propio $1$ . Si $A$ no lo hizo tienen $1$ como un valor propio, sabríamos que no es una rotación en absoluto (en este caso, sí tiene $1$ como valor propio). Si la dimensión del eigespacio fuera mayor que $1$ entonces sería una matriz de reflexión (si la dimensión $2$ ), o la matriz identidad (si la dimensión $3$ ). Está claro que este último no es el caso, por lo que se trata de una matriz de rotación o de una matriz de reflexión. Sin embargo, si fuera una matriz de reflexión, su determinante sería $-1,$ en su lugar (¿por qué?), y por lo tanto es una matriz de rotación.

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Nota al margen : Dados dos vectores cualesquiera no nulos $x,y$ en $\Bbb R^3$ con el ángulo de $x$ a $y$ ser $\theta$ tenemos las siguientes fórmulas (donde $\cdot$ es el producto punto y $\times$ es el producto cruzado): $$x\cdot y=\lVert x\rVert\lVert y\rVert\cos\theta\tag{1}$$ $$\lVert x\times y\rVert=\lVert x\rVert\lVert y\rVert\sin\theta\tag{2}$$

Para ver dónde $(1)$ y $(2)$ vienen de, ver aquí y aquí .

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En general, supongamos que nos han dado una matriz $A$ correspondiente a una rotación en $\Bbb R^3$ y que queremos encontrar su ángulo de giro. Primero, encontrar una base $\{w\}$ para el eje de rotación (encontrado como arriba), que $x$ sea cualquier vector unitario no nulo ortogonal (perpendicular) a $w$ , dejemos que $y=Ax$ . Entonces ambos $x$ y $y=Ax$ serán vectores unitarios. (¿Ves por qué $y$ es un vector unitario), por lo que las fórmulas $(1)$ y $(2)$ se obtienen las siguientes fórmulas alternativas para nuestro particular $x,y$ : $$x\cdot y=\cos\theta\tag{$ 1' $}$$ $$\lVert x\times y\rVert=\sin\theta\tag{$ 2' $}$$ Aquí, $\theta$ es el ángulo de rotación de $A$ . (¿Ves por qué?) A partir de ahí, podemos determinar $\theta$ . (¿Ves cómo?)

Como alternativa, comience con $w$ (como en el caso anterior), normalizarlo a $\hat w$ y luego determinar una base ortonormal $B=\{\hat w,v_2,v_3\}$ para $\Bbb R^3$ con el proceso Gram-Schmidt. A continuación, $$(\hat w\: v_2\: v_3)^TA(\hat w\: v_2\: v_3)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & \cos\theta & -\sin\theta\\0 & \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right),$$ lo que nos da otra forma de encontrar $\theta$ .

Answer 4

Wolfram Alpha me dice que hay un eigespacio con valor propio $-1$ generado por $(-2, 0, 1)$ y $(-2, 1, 0)$ y un eigespacio con valor propio $1$ generado por $(1, 2, 2)$ . (Se puede hacer a mano). Los espacios de los eigenes son ortogonales, por lo que se trata de una rotación de 180 grados sobre el eje $(1, 2, 2)$ .

El problema es un poco atípico, ya que si rotas por cualquier ángulo que no sea un múltiplo entero de $\pi$ tendrás valores propios complejos.

Answer 5

Una matriz de rotación tiene determinante unitario. Una matriz de este tipo que tiene todas las entradas distintas de cero puede descomponerse en tres matrices de rotación, cada una de las cuales representa una rotación sobre un eje de coordenadas ortogonal.