Ejercicio: Aplicación de Hahn-Banach Teorema de

Question

Estoy trabajando en este ejercicio (no a la tarea) y lo haría con mucho gusto la bienvenida a algunos consejos de cómo resolverlo!

Ejercicio: Vamos a $\{x_1,\dots,x_n\}$ ser un conjunto linealmente independiente de los elementos de una normativa espacio vectorial $X$. Deje $c_1,\dots,c_n \in \mathbb{C}$. Demostrar que no existe $f\in X^\ast$ tal que $f(x_i)=c_i$.

Mi idea:

Considero $M = span\{x_1,...,x_n\}$, que es un subespacio de $X$. Cualquier $x\in M$ puede ser escrito $x=\sum_1^n \lambda_k x_k$, para algunas de las $\lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{C}$. Definir $f:M \rightarrow \mathbb{C}$$f(x_i)=c_i$$i=1,...,n$. A continuación, $$f(x) = \sum_1^n \lambda_k f(x_k) = \sum_1^n \lambda_k c_k.$$

Si puedo encontrar un semi-norma $p:X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $|f(x)| \leq p(x)$ cualquier $x \in M$, luego por la de Hahn-Banach Teorema nos llevaría a cabo.

Gracias de antemano!

Answer 1

Usted todavía necesita un giro en su argumento. Se puede definir una norma $p$ $M$ por $$ p(\sum_{k=1}^n\lambda_kx_k)=\sum_{k=1}^n|\lambda_k|. $$ Ahora, como $M$ es finito-dimensional, todas las normas son equivalentes. Este en particular nos dice que existe una constante $c$ tal que $p(x)\leq c\|x\|$ todos los $x\in M$ (desde $\|\cdot\|$ es otra norma en $M$). Así que usted tiene $$ |f(x)|\leq\,c\,\max\{|c_1|,\ldots,|c_n|\}\,\|x\|,\ \ x\in M, $$ y ahora usted puede aplicar de Hahn-Banach.

O un poco más directo sería el aviso de que ya $M$ es finito dimensional, cada funcional es continua, y por lo tanto $f$ es necesariamente limitada en $M$.

Answer 2

Con un poco de ayuda de Sánchez, me las arreglé para averiguarlo! Tenemos

$$|f(x)| = |\sum_1^n \lambda_k c_k | < \infty,$$

Por lo tanto, para cualquier $x \in M$ tenemos $|f(x)| < \infty$. Desde $f$ es limitada, existe una constante $C$ tal que $|f(x)| \leq C\|x\|$ todos los $x \in M$ donde $\| \cdot \|$ es la norma en $X$. Si definimos $p(x) = C\|x \|$, luego está claro que será un semi-norma en $X$ y podemos usar el de Hahn-Banach Teorema para obtener el resultado deseado!

Answer 3

Set $L_k=span_{i \neq k}\{x_i\}$ por cada $k=1,\ldots, n$ y observar que cada una de las $L_k$ es un subespacio cerrado de $X$. Por el de Hahn-Banach Teorema existen funcionales $f_k \in X^*$ tal que $f_k(L_k)=0, \ \ f_k(x_k)=1$ por cada $k=1,\ldots ,n$. Ahora el funcional $f=\sum c_if_i$ satisface la propiedad deseada.