impares, números primos

Question

Para$m \geq 4$, $P_m$ a ser el conjunto de todos los impares, números primos estrictamente menor que $m$ que no se dividen $m$. Por ejemplo, $P_4=\{3\}$, $P_7=\{3,5\}$, $P_{15}=\{7,11,13\}$.

Ahora, para$n \geq 1$, $M_n$ a ser el conjunto de todos los $m$ tal que $|P_m|=n$. Por ejemplo, $4$ pertenece a $M_1$, $7$ pertenece a $M_2$, e $15$ pertenece a $M_3$. He comprobado que para $m \geq 4$, $P_m$ siempre es no vacío. Aquí hay dos preguntas:

a) Por $n \geq 1$, son todos los $M_n$ no vacío? Mis primeros cálculos parecen mostrar que $M_{24} =\{101\}$, un singleton.

b) Si $M_n$ no está vacía, ¿qué es $\max(M_n)$? O, lo que es un límite superior para $\max(M_n)$?

Answer 1

max$(M_n)$ no es mucho mayor que min$(M_n)$, que obviamente tiene que ser mayor que $p_{n+1}$, $(n+1)$th prime. Cada una de las $M_n$ incluye exactamente un número primo, $p_{n+2}$. Usted sólo puede posiblemente incluyen los valores de a (no incluido) $k-1$ más de los números primos después de eso, donde $k$ es determinado por el valor máximo tal que $$ \prod_{i=2}^k p_i <p_{n+k} $$

Así, los valores de $k$ aumenta la se $\{3,15,105,1155,\ldots\}$, el primorials con $2$ dividida.

Answer 2

http://en.wikipedia.org/wiki/Primorial
Este artículo establece que el producto de todos los impares, números primos por debajo de $m$ es aproximadamente el $n=\frac12e^m$.
Hay aproximadamente el $m/\log m$ números primos por debajo de $m$.
Así que los números por debajo de $n$ tienen en la mayoría de $k=\log(2n)/\log\log(2n)$ impares diferentes factores primos.
Áspero de un límite superior en $M_n$ $p_{n+k}$
Ya que los números son cerca de $p_{n+k}\approx n\log n$, en lugar de cerca de $n$, que debo ajustar $k$$\hat{k}=\log(2n\log n/\log\log(2n\log n)$, pero $\hat{k}$ es todavía cerca de $\log n/\log\log n$