¿Cómo se define el "límite" de un espacio topológico?

Question

Como se describe aquí (y como siempre pensé que era la definición más general de frontera), una posible definición de la frontera de un subconjunto $S$ de un espacio topológico $X$ es $\partial S = \overline S \backslash \mathrm{int}(S)$ .

Estoy leyendo el libro de Allen Hatcher sobre topología algebraica, y a menudo se refieren a "la" frontera de un espacio topológico, por ejemplo diciendo que $\partial D^2 = S^1$ . ¿Cómo se define esta noción de límite de forma única? Porque si tomo una inyección de $D^2$ en $\mathbb R^2$ Voy a conseguir $S^1$ pero si tomo la inyección de $D^2$ en $\mathbb R^3$ entonces $D^2$ se convierte en su propio límite. Sé que el $\partial$ es una operación importante en topología así que estoy tratando de entenderla, y siento que no tiene mucho sentido aquí.

Entonces, ¿alguien puede describir con precisión lo que significa $\partial X$ cuando $X$ ¿es un espacio topológico? O, al menos, explique qué se entiende por ello en los contextos particulares en los que se utiliza.

Answer 1

La noción de frontera que se busca proviene de la definición de las variedades topológicas con frontera. A diferencia de un colector regular $X$ , una colector con frontera tiene la propiedad de que cada punto en $X$ tiene una vecindad abierta que es homeomorfa a un conjunto abierto en el semiespacio euclidiano $\mathbb{R}_+^n=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R^n}:x_n\ge0\}$ . Así pues, definimos $\partial X$ para ser los puntos que cuando se mapean a $\mathbb{R}_+^n$ tienen $x_n=0$ .

Esta definición tiene la ventaja de que una incrustación de $X$ en algún otro espacio no cambia $\partial X$ . Así, $\partial D^2=S^1$ independientemente de que lo veas como vivir en $\mathbb{R}^2$ o en $\mathbb{R}^3$ .

Answer 2

El concepto de límite puede extenderse a la frontera (regular) Complejos CW , como se sugiere aquí .

El límite de un complejo CW (regular) $X$ es : $$\partial X := \overline{\bigcup_{n \ge 0}(\bigcup_{c \in \text{n-cells}} \partial c) / (\bigcup_{c \ne c'\in \text{n-cells}} (\partial c \cap \partial c'))}$$

Definición : La notación " $n$ -de celdas", es el conjunto de celdas cerradas $n$ -células.

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Exemple : Dejemos que $X$ sea un espacio topológico con la siguiente estructura compleja simplicial :

Todos los conjuntos :

• $0$ -células $=\{ A,B,C,D,E,F \}$
• $1$ -células $=\{ [A,B],[B,C],[C,D], [D,E],[E,A],[A,F]... \}$
• $2$ -células $=\{ [A,B,F],[B,C,F],[C,D,F], [D,E,F],[E,A,F]\}$

Ahora :

• $\partial A = \partial B = ... = \partial F = \emptyset$
• $\partial [A,B] = \{A,B \}$ , $\partial [B,C] = \{B,C \}$ , ....
• $\partial [A,B,F] = [A,B] \cup [B,F] \cup [A,F] $ , $\partial [B,C,F] = [B,C] \cup [C,F] \cup [B,F] $ , ...

Así que :

• $(\bigcup_{c \in \text{0-cells}} \partial c) / (\bigcup_{c \ne c'\in \text{0-cells}} (\partial c \cap \partial c')) = \emptyset$
• $(\bigcup_{c \in \text{1-cells}} \partial c) / (\bigcup_{c \ne c'\in \text{1-cells}} (\partial c \cap \partial c')) = \emptyset$
• $(\bigcup_{c \in \text{2-cells}} \partial c) / (\bigcup_{c \ne c'\in \text{2-cells}} (\partial c \cap \partial c')) = (A,B) \cup (B,C) \cup (C,D) \cup (D,E) \cup (E,A)$

Conclusión : $\partial X = [A,B] \cup [B,C] \cup [C,D] \cup [D,E] \cup [E,A]$

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Preguntas : Dejemos que $X$ sea un espacio topológico que admita una estructura de complejo CW (regular):

• Hace $\partial X$ dependen de la elección de la estructura del complejo CW (regular)?
• ¿Podemos ampliar esta definición para todos los espacios topológicos?