El hecho de que $M_T$ es compacto Hausdorff (en débil * topología) ha señalado en el comentario. La prueba es similar para el caso en el compacto métrica espacios. Esto lo aprendí de Clinton Conley.
Hecho 1: Si $T: X\to X$ es continuo, $T_*: M_T \to M_T$ es débil * continuo.
Prueba: Por la definición de débil * la convergencia, $\mu_n \to \mu $ fib $\int f d\mu_n \to \int f d\mu \forall f\in C(X)$, en particular,$\int f\circ T d\mu_n \to \int f \circ T d\mu \ \ \ \forall f\in C(X)$$\int f dT_*\mu_n \to \int f dT_*\mu \ \ \ \forall f\in C(X)$.
Hecho 2: No existe $\mu\in M_T$ tal que $T_*\mu=\mu$.
Considere la posibilidad de un grupo abelian (aviso de las acciones conmutar) generado por $K=\{\frac{1}{n} (1+ T_* + \cdots + T_*^{n-1}): n\in \mathbb{N} \}$. Desde $M_T$ es compacto Hausdorff, y también para cualquier finito $s_i\in K, (s_1 \circ \cdots s_k)[M_T]\subset \bigcap_i s_i[M_T]$ así lo finito intersección de la propiedad. En particular, no existe $\mu\in \bigcap_{s\in K} s[M_T]$.
Ahora es a la izquierda para mostrar que $\mu$ es invariante. Supongamos que no existe una función continua $f\in C(X,[0,1])$ tal que $\int f\circ T d\mu \neq \int f d\mu$. Deje $\epsilon>0$ ser menor que el valor absoluto de su diferencia. Pick $n$ grande tal que $\frac{1}{n}<\epsilon$ también $\nu\in M_T$$\mu=\frac{1}{n} (\nu+\cdots+ T_*^{n-1}\nu)$. A continuación,$T_*\mu-\mu=\frac{1}{n} (T_*^n \nu- \nu)$. A continuación,$\epsilon\leq |\int f\circ T d\mu - \int f d\mu|=|\frac{1}{n}\int fd(T_*\nu-\nu)|\leq \frac{1}{n}$, contradicción.
