Para las matrices, si $AB=BA$ ¿se deduce entonces que $B^{2}A=AB^{2}$ ?

Question

Supongamos que $AB=BA$ ( $A, B$ son $n\times n$ matrices). ¿Significa esto que $B^{2}A=AB^{2}$ ? He buscado contracasos y no he encontrado ninguno. Intenté demostrarlo multiplicando ambos lados y comparando, pero me quedé atascado ya que no sé cómo utilizar eficazmente el hecho de que $AB = BA$ . Cualquier consejo u orientación general será muy apreciado.

Answer 1

Tenemos $B(AB)=B(BA)=B^2A$ y también $(BA)B=(AB)B=AB^2$ Por lo tanto $B^2A=AB^2$ .

Answer 2

Sí: $$B^2A = (BB)A = B(BA) = \ldots$$ Creo que ahora debería estar claro cómo continuar (he puesto explícitamente paréntesis para que sea más obvio; por supuesto, no los necesitas estrictamente).

Answer 3

Creo que sí. $$B^2A = B(BA) = B(AB) = (BA)B = (AB)B = AB^2 $$

Answer 4

Nótese que la asociatividad de la multiplicación de matrices es clave. Se le da que $AB=BA$ . Así pues, yo empezaría multiplicando ambos lados de la ecuación que se te da por $B$ a la izquierda. Así es como podrías visualizarlo: \begin{array}{ccc} AB &=& BA\\ B(AB) &=& B(BA)\\ (BA)B &=& (BB)A\\ (AB)B &=& (BB)A\\ A(BB) &=& (BB)A\\ AB^2 &=& B^2A\\ \end{array} Así, cuando se nos da que $AB=BA$ se deduce necesariamente que $AB^2=B^2A$ .