Encontrar el rango de $r/R$.

Question

Dado un triángulo $ABC$ con ángulo $A=90^{\circ}$. Que $M$ sea el punto medio de $BC$. Si el inradii de la % de triángulos $ABM$y $ACM$ son los $r$ y $\ R$ respectivamente, entonces encontrar el rango de $\dfrac rR$.

Answer 1

$D$ y $d$la media de % de $AB$ $AC$, $BM=MC$, el inradio del $ABM$ es:

$$r= \frac{2*AD*DM}{AB+AM+BM}$$

$$R= \frac{2*Ad*dM}{AC+AM+BM}$$

$$r/R=\frac{AD*DM}{AB+AM+BM} X \frac{AC+AM+BM}{Ad*dM} $$

Answer 2

Para un triángulo rectángulo, la mediana divide en dos partes iguales la hipotenusa, es la mitad de la hipotenusa sí mismo. Considerando las piernas de su triángulo como b y c, y la hipotenusa, [como por convención]. Tenemos:

$$r = \frac{2(Area \: of \: ABM)}{Perimeter \: of\: ABM} = \frac{2(Area\: of\: ABM)}{c+a}$$ $$R = \frac{2(Area \: of \: ACM)}{Perimeter \: of\: ACM} = \frac{2(Area\: of\: ACM)}{b+a}$$

Teniendo en cuenta que la mediana divide el triángulo en dos partes de igual área, dividimos los términos:

$$\frac{r}{R} = \frac{2(Area \: of \: ABM)(b+a)}{2(Area \: of\: ACM)(c+a)} = \frac{b+a}{c+a}$$

Que creo que es lo mejor que se puede conseguir, aparte de algunas otras manipulación algebraica que puede implicar. Y su pregunta se enmarca de manera que es, por supuesto, soluciones simétricas, así que ten cuidado de que.