Hay algo especial acerca de esta matriz?

Question

Sólo he encontrado una matriz, la cual parece no mostrar nada especial para mí: $$B=\begin{pmatrix}1&4&2\\0 &-3 &-2\\ 0 &4 &3 \end{pmatrix}$$ Pero además de la observación revela algo impresionante: $A$B^n=\casos{{I}&n es incluso\\{B}&n es impar}$$ Por lo que me lleva a preguntarme si en realidad hay algunas propiedades especiales de esta matriz $B$, o más probablemente, $B$ pertenece a toda una clase especial de matrices cuyo nombre no sé? Podría usted me cae una sugerencia? Gracias de antemano.

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EDITAR creo que estaba siendo un poco estúpido... de repente Se me ocurrió de golpe que cualquier matriz $B$ tales que $B^2=I$ le tienen esta propiedad.

Answer 1

Si quieres un nombre que se llama involución. Que es cualquier matriz cuyo cuadrado es la identidad, o uno que es su propia inversa. Todas esas matrices tienen la propiedad de que usted ha mencionado. Las Matrices correspondientes a la reflexión son de este tipo.

Answer 2

los autovalores de a $B$ dada por $$0=\det\pmatrix{1-\lambda&4&2\\0&-3-\lambda&-2\\0&4&3-\lambda} =(1-\lambda)(\lambda^2 -1)=-(\lambda -1)^2(\lambda+1)$$ vectores propios correspondientes al autovalor 1 $que$ se $u = (1,0,0)^T, v = (0,1, -2)^T$ y un autovector correspondiente al autovalor $-1$ es $w=(1,-1,1).$ por lo tanto, la descomposición espectral de $B$ es $$B = \frac 1{u^Tu}uu^T+ \frac 1{v^Tv}vv^T- \frac 1{w^Tw}ww^T.$$ esto implica que $a$B^n = \begin{casos} I & \text{ si } n \text{ es aún }\\ B & \text{ si } n \text{ es impar }\end{casos} $$

Answer 3

$B$ es una raíz cuadrada de la unidad. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_a_matrix para más información acerca de las raíces cuadradas de las matrices.

Answer 4

Un plazo razonablemente breve cálculo muestra que la matriz tiene valores propios $-1,1,1$. Su cálculo muestra que se tiene un mínimo de polinomio $t^2-1=0$, lo que obliga a los bloques de Jordan en Forma Normal de Jordan a ser diagonal. Por lo tanto usted puede diagonalise a $$ R J R^T, $$ donde $R$ es una matriz ortogonal y $J=\operatorname{diag}{(1,1,-1)}$. Es entonces claro lo que sucede cuando usted toma poderes de ella.

Answer 5

Es especial en el sentido de que es una representación de un elemento de generación por $C_2$, la cíclica 2 grupo. Que es uno de los más básicos a los grupos. Esto significa que usted puede encontrar un bloque de diagonalización tales que el cuadrado de los bloques de la matriz de identidad. Por ejemplo, esto podría -1 o $\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$, ya que sus plazas son una matriz de identidad. También es posible que usted puede encontrar un diagonalización en el campo en el que ya están trabajando en. Si Chappers anterior es correcto, entonces es posible hacer en este caso, pero en general este no es el caso de los grupos y a una cuadra de la diagonal tienen que hacer.

Otro ejemplo es el de la matriz $\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)$. Esta matriz es un elemento de generación de los $C_3$ grupo como - usted lo adivinó - los poderes de 3 es la identidad.

Sin embargo, tiene complejo de valores propios, que son las raíces de la unidad, por 3, por lo que si se trabaja en ${\mathbb R}$ una simple diagonalización no iba a funcionar y tenemos que aceptar un bloque de diagonalización.