Demuéstralo: $\lim\limits_{r\to\infty}\int\limits_{0}^{\pi/2}e^{-r\sin \theta}\text d\theta=0$

Question

Me gustaría mostrar $\lim\limits_{r\to\infty}\int_{0}^{\pi/2}e^{-r\sin \theta}\text d\theta=0$ .

Ahora, por supuesto, el integrando no converge uniformemente a $0$ en $\theta\in [0, \pi/2]$ ya que tiene valor $1$ en $\theta =0$ para todos $r\in \mathbb{R}$ .

Si $F(r) = \int_{0}^{\pi/2}e^{-r\sin \theta}\text d\theta$ podemos encontrar el $j$ ª derivada $F^{(j)}(r) = (-1)^j\int_{0}^{\pi/2}\sin^{j}(\theta)e^{-r\sin\theta}\text d\theta$ pero no veo cómo esto ayuda.

La función es estrictamente decreciente en $[0,\pi/2]$ ya que $\partial_{\theta}(e^{-r\sin\theta})=-r\cos\theta e^{-r\sin \theta}$ que es estrictamente negativo en $(0,\pi/2)$ .

¿Alguna idea?

Answer 1

En $[0,\pi/2]$ el seno es no negativo y por tanto $|e^{-r\sin \theta}| \leq 1$ para $r \geq 0$ . Por convergencia dominada se deduce que $$ \lim_{r \to \infty} \int_0^{{\pi/2}} e^{-r \sin \theta}\text d\theta = \int_0^{{\pi/2}}\lim_{r \to \infty} e^{-r \sin \theta}\text d\theta = \int_0^{\pi/2}0 \text d\theta = 0. $$

Answer 2

Sólo basta con demostrar que

$$ \int\limits_{0}^{\pi/2}{e^{-r\sin\theta}\text d\theta}\le \int\limits_{0}^{\pi/2}{e^{-r\frac{2}{\pi}\theta}\text d\theta}=\frac{\pi}{2r}\left(1-e^{-r}\right) \to 0 \quad (r \to +\infty)$$

Answer 3

Dividirlo en dos partes: una integral sobre $[0,\epsilon]$ y otro sobre $[\epsilon, \pi/2]$ . Como el integrando está acotado en el primer trozo, se puede hacer arbitrariamente pequeño eligiendo $\epsilon$ pequeño. En la otra pieza, converge uniformemente a cero. Creo que se puede tomar a partir de ahí.

Answer 4

Obsérvese que, la integral converge uniformemente, ya que

$$ e^{-r\sin(\theta)} \leq e^{-\sin(\theta)}, \quad r\geq 1, $$

lo que justifica cambiar el límite por la integral y la respuesta es $0$ .

Answer 5

Esto también puede gestionarse mediante Convergencia monótona .

Las funciones $f_r(\theta)=1-e^{-r\sin(\theta)}$ convergen monotónicamente a $$ \lim_{r\to\infty}f_r(\theta)=f(\theta)=\left\{\begin{array}{} 1&\text{if }0\lt\theta\le\frac\pi2\\ 0&\text{if }\theta=0 \end{array}\right. $$ Así, $$ \begin{align} \lim_{r\to\infty}\int_0^{\pi/2}e^{-r\sin(\theta)}\,\mathrm{d}\theta &=\lim_{r\to\infty}\int_0^{\pi/2}(1-f_r(\theta))\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac\pi2-\lim_{r\to\infty}\int_0^{\pi/2}f_r(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac\pi2-\int_0^{\pi/2}f(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\[4pt] &=\frac\pi2-\frac\pi2\\[9pt] &=0 \end{align} $$