¿Por qué es el flujo magnético no quantized en una configuración estándar del solenoide (infinito) de Aharonov-Bohm , mientras que en un superconductor ajuste, flujo es quantized?
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De acuerdo a Wigner, la función de onda de una partícula cuántica puede ser varios valores, es decir, puede adquirir un trivial fase de alrededor de un bucle cerrado. Una fase es trivial cuando no se puede eliminar utilizando un indicador de la transformación por $e^{i \alpha(\theta)}$, con una verdadera función de $\alpha$, es decir, $\alpha(2\pi) = \alpha(0)$. Las funciones de onda de tener esta propiedad son las secciones de no trivial de la línea de paquetes sobre la configuración de colector.
La razón por la que una función de onda no es necesario para ser una verdadera función es debido a que su fase general y magnitud físico (si uno define cuántica expectativas:)
$<X> = \frac{\int \Psi \hat{X} \Psi}{\int \Psi \Psi}$
Tales funciones de onda surgir cuando la configuración de colector no es simplemente conectado con un trivial cohomology grupo $\mathcal{H}^{1}(M,\mathbb{R})$ (Este es el caso de la circunferencia). En este caso, no va a existir vectores potenciales en el colector de que no son los gradientes de una verdadera función en el colector. $A \ne d\alpha(\theta)$. con, $\alpha(2\pi) =\alpha(0)$. Sin embargo, no hay ninguna necesidad de que el flujo esté cuantificada como la función de onda no tiene que ser una verdadera función en la configuración de colector. Por el contrario, si el flujo habían sido cuantificada, entonces no Aharonov-Bohm efecto no se ha observado. Una cuantización condición se produce cuando $\mathcal{H}^{2}(M,\mathbb{R})$ (Dirac condición de cuantización), pero este es el caso de una partícula que se mueve sobre una esfera en lugar de en un círculo.
Sin embargo, este no es el caso en la superconductividad. La diferencia entre las dos situaciones radica en el hecho de que el "macroscópica de la función de onda" de un superconductor no es una "función de onda". es decir, no es la de coordinar la representación de un estado de vectores en un espacio de Hilbert. Es un campo cuántico que describe bosones de Goldstone (par de Cooper) de los superconductores de fase (generalmente se llama un parámetro de orden). El módulo de la macroscópico de la función de onda $|\Psi(\theta)|^2$ describe la densidad del número de operador de los bosones de Goldstone. Sus dos funciones de punto de describir la (de largo alcance) correlaciones. Este campo cuántico parejas mínimamente al electromagnetismo, y esta es la razón por la que su ecuación de movimiento es similar a la ecuación de Schrödinger para una partícula junto al electromagnetismo. Pero la principal diferencia de este campo es un verdadero campo escalar y no una sección de una línea de paquete. Esto nos da la razón por la que la fase que se adquiere en un bucle completo debe desaparecer porque de lo contrario, por ejemplo, sus funciones de correlación dependerá de la cantidad de veces que el círculo estaba envuelto.
Xcheckr
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Mientras tanto las respuestas dadas, en cierto sentido, es correcta, la verdadera razón tiene que ver con consideraciones energéticas. Es una cuestión de lo que es más fuerte y puede ser formulada de la siguiente pregunta: ¿la función de onda alterar sí mismo para acomodar el flujo, o el flujo de cuantización sí porque la función de onda está tratando de seguir siendo el único valor?
Como un ejemplo de lo que quiero decir: flujo es cuantificada en el superconductor caso hasta un punto. Uno puede acelerar el flujo en el interior del anillo superconductor hasta que la superconductividad es destruido (aunque el campo magnético en sí no está en contacto con el superconductor). Esto ocurre simplemente porque los superconductores de condensado no tienen la suficiente energía para mantener el flujo de cuantificada en grandes valores del flujo.
Es porque el superconductor, en cierto sentido, puede considerarse como un macroscópica de la función de onda con una gran cantidad de energía que el flujo es cuantificada en el superconductor caso. En el Aharonov-Bohm caso, tenemos un solo electrón (o un haz de incoherente electrones), que no tiene la energía suficiente para alterar el flujo.
Nick
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El conjunto de Aharonov-Bohm efecto – un trivial de fase es en realidad debido a que no es más que una desviación del flujo de cuantización de la regla. El ángulo podemos medir como el cambio en el patrón de interferencia en la Aharonov-Bohm efecto es
$$ \Delta\phi = \frac{q\Phi_B}{\hbar}, \quad \Phi_B \equiv\int d\vec S\cdot \vec B $$
Así que el convencional de flujo de la cuantización de la regla es$\Delta \phi = 2\pi k$$k\in{\mathbb Z}$, lo que significa nada más que "el solenoide se comporta exactamente como si no hubiera solenoide".
Que cómo se deriva el flujo de la cuantización en el primer lugar. Los monopolos magnéticos, por ejemplo (una importante tercera situación estoy agregando donde el flujo de cuantización merece ser discutido), tenemos que obedecer la Dirac cuantización de la regla, que es equivalente al flujo de la cuantización de la regla para el flujo a través de la superficie que los rodea. Y tienen que obedecer exactamente de la cadena de Dirac – un semi-infinito línea a partir de la monopolo magnético donde $\vec A$ es inevitablemente singular y que debe de existir porque ${\rm div}\,\vec B\neq 0$ más – para ser observables. La cadena de Dirac no es más que un Aharonov-Bohm solenoide, sin embargo una de las que sabemos que son observables debido a que no hay materia sobre la que hay y se requiere la ubicación de la cadena de Dirac a ser una pura convención.
Tenga en cuenta que hay una diferencia entre las superficies de arriba. El flujo de cuantización (que no tienen) en la Aharonov-Bohm efecto, se cuenta el flujo a través de un proceso abierto, en forma de disco de la región; en la de Dirac de la cuantización de la regla, es una superficie cerrada, una esfera alrededor de un monopolo. Es sólo el último de flujo a través de una superficie cerrada que tiene que ser cuantificada.
Ahora, en el superconductor, los pares de electrones actúan como bosones que efectivamente producen un complejo clásica escalar campo $\Psi$. Su cargo es$2e$, ya que se compone de pares de electrones. Ahora, el vacío de la expectativa de valor de $|\Psi|^2$ es una constante distinto de cero, pero la fase de $\Psi$ es arbitrario. En particular, al estudio de cómo la fase de $\Psi$ cambios si rodear el contorno de un círculo, usted encontrará que se trata de volver a la fase inicial, pero se puede "viento de alrededor de cero" $w$ a veces, un sinuoso número, y esta entero $w$ exactamente mide el flujo magnético en las unidades de la superconductor de flujo magnético (que es $1/2$ veces el mínimo monopolo magnético doble a la de los electrones).
Esta condición, que "la fase de $\Psi$ tiene que volver a sí mismo", es matemáticamente equivalente a la que hemos utilizado en el campo magnético de-monopolo, Dirac cuantización de discusión: en su fase está cambiando tanto como cuando un electrón fue rodeando de Dirac cadena (o solenoide) en los dos ejemplos anteriores. Una diferencia es que ahora, un par de electrones se debe permitir que pacíficamente rodean el anillo sin cambiar la función de onda – porque todavía el mismo estado. De forma que la fase está cambiando con el doble de rapidez y el permitido de la unidad de flujo es $1/2$ de lo que era antes.
En el superconductor caso, la fase debe volver a su valor original (después de que el par de electrones hace un viaje alrededor del anillo) debido a que esta situación está cerca de la "cadena de Dirac". En particular, se requiere que no hay ningún efecto observable del material en el interior del disco simplemente porque no hay nada – no hay solenoide etc. – en el interior del anillo. Tanto como para la cadena de Dirac, la materia en el interior del anillo tiene que ser invisible – no hay ninguna – lo que significa que la función de onda tiene que volver a su valor original después de una rotación de 360 grados por el par de electrones.
Resumen
Sólo pudo despedir a estos tres situaciones completamente diferentes situaciones, pero la clave de las matemáticas es todavía análoga en las tres situaciones, con algunas diferencias:
- la Dirac cadena o el interior del anillo superconductor debe actuar como si no fuera nada, por lo que las funciones de onda deben regresar a sí mismos, y, por tanto, imponer la cuantización de la regla; es importante distinguir el abierto/cerrado en la topología de las superficies sobre las que los flujos se miden
- el Aharonov-Bohm solenoide contiene cosas así que no hay ninguna prueba válida de que el solenoide tiene que ser invisible a los electrones corriendo a su alrededor, y de hecho, su patrón de interferencia es permitido el cambio como un resultado
- uno debe ser cuidadoso acerca de las diferentes primaria cargos, $e$ (o $e/3$ si los quarks están incluidos) en la cadena de Dirac y/o el Aharonov-Bohm solenoide, y $2e$ en el superconductor caso
