Mapeos Lineales Acotados de Espacios de Banach

Question

Este problema me ha estado causando algunos problemas. ¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo demostrar esto?

Sean $X$ e $Y$ espacios de Banach. Si $T: X \to Y$ es una aplicación lineal tal que $f \circ T \in X^*$ para cada $f \in Y^*$, entonces $T$ es acotado.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Por el principio de acotación uniforme aplicado al conjunto de todos los $f \circ T$ con $|f| = 1$ (norma del operador de $Y$ a ${\bf C}$), hay dos posibilidades: 1) existe una constante $C$ tal que $|f(T(x))| \leq C||x||$ para todo $x \in X$ y todo $f$ con $|f| = 1$, o 2) existe al menos un $x$ tal que ${\displaystyle \sup_{|f| = 1} |f(T(x))| = \infty}$.

La segunda opción no puede ser cierta ya que $|f(T(x))| \leq ||T(x)||$ siempre que $|f| = 1$. Entonces la primera opción debe ocurrir; hay una constante $C$ tal que $|f(T(x))| \leq C||x||$ para todo $x \in X$ y todo $f$ con $|f| = 1$. Por el teorema de Hahn-Banach, para cualquier $y = T(x) \in Y$ se puede crear un $f$ con $|f| = 1$ tal que $|f(T(x))| = ||T(x)||$. Así que tenemos $||T(x)|| \leq C||x||$.

Answer 2

Sea $A=\{f\circ T \mid f\in Y^* \land \Vert f \Vert = 1\}$ (entonces $A\subset X^*$). Sea $x\in X$. Entonces ${|(f\circ T)x|}\leq {\Vert f \Vert} {\Vert Tx \Vert}$, por lo tanto $$ \sup_{\phi\in A} |\phi(x)| \leq \Vert Tx\Vert $$ lo cual es finito. Por el principio de acotación uniforme, tenemos $$\sup_{\phi\in A} \Vert \phi \Vert<\infty $$ y $$ \begin{align*} \sup_{\phi\in A} \Vert \phi \Vert &= \sup_{\substack{f\in Y^* \\ \Vert f \Vert = 1}} \Vert f\circ T\Vert\\ &= \sup_{\substack{f\in Y^* \\ \Vert f \Vert = 1}} \left(\sup_{\substack{x\in X \\ \Vert x \Vert = 1}} |(f\circ T)x|\right)\\ &= \sup_{\substack{x\in X \\ \Vert x \Vert = 1}}\left(\sup_{\substack{f\in Y^* \\ \Vert f \Vert = 1}} |(f\circ T)x|\right) \end{align*} $$

Pero $$ \forall x\in X,\; \sup_{\substack{f\in Y^* \\ \Vert f \Vert = 1}} |(f\circ T)x| \ge \Vert Tx \Vert, $$ por lo tanto $$ \Vert T \Vert = \sup_{\substack{x\in X \\ \Vert x \Vert = 1}} \Vert Tx \Vert < \infty. $$ Así que $T$ está acotado.

Answer 3

Primero, afirmo que la bola unitaria de $Y^{*}$ se mapea en un subconjunto acotado de $X^{*}$. Esto se sigue del teorema de Banach-Steinhaus. Si $x \in X$, entonces $(f \circ T)(x) = f(T(x))$ está acotado mientras $f$ varía entre los elementos de $Y^{*}$ de norma a lo sumo uno. Así que tenemos la colección $\mathcal{C}$ de funcionales $f \circ T$ en $X$, de manera que para cada $x \in X$, $\sup_{r \in \mathcal{C}} ||r(x)|| < \infty$. Esto implica que $\mathcal{C}$ es un conjunto acotado y que el transpuesto de $T$ es acotado.

Ahora, si el transpuesto de una transformación lineal $T$ está acotado por algún $C$, entonces $T$ está acotado por $C$ (para ver esto, supongamos que $x \in X$ tiene norma a lo sumo uno; entonces la afirmación es que $|\ell(T(x))| \leq C$ para $\ell$ un funcional en $Y$ de norma a lo sumo uno, lo cual es equivalente por Hahn-Banach. Pero esto es $|T^{*}(\ell)(x)|$, que por la suposición tiene una norma a lo sumo $C$).