Necesaria y suficiente condición para continuamente diferenciable

Question

Yo estaba tratando de demostrar que la siguiente declaración:

Deje $U\subset\mathbb{R}^m$ ser abierto y $f:U\to\mathbb{R}^n$. Mostrar que $f$ es continuamente diferenciable si, y sólo si, para cada una de las $x\in U$, existe un operador lineal $A(x):\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ tal que $$ \lim\frac{f(x+h)-f(x+k)-A(x)(h-k)}{\|h-k\|}=0 $$ siempre que $(h,k)\to(0,0)$,$h\ne k$.

Si $f$ es continuamente diferenciable, entonces, para cada a $x\in U$, la definición de $g_x:=f-f'(x)$ (a continuación,$g_x'(y)=f'(y)-f'(x)$) y la aplicación de la Media del Teorema del Valor, mediante la continuidad de las $f'$, y para la adecuada cerrado balón $B=\bar B(x;\delta)\subset U$ tal que $\|f'(a)-f'(b)\|<\epsilon/2$ si $a,b\in B(x;2\delta)\subset U$, y para cualquier $h,k\in B,h\ne k$, tenemos $$ \frac{\|f(x+k+h-k)-f(x+k)-f'(x)(h-k)\|}{\|h-k\|}=\frac{\|g_x(x+h)-g_x(x+k)\|}{\|h-k\|}\\\le\sup\limits_{h,k\en B}\|f'(x+k)-f'(x+h)\|<\epsilon $$ así, la igualdad se mantiene, donde $A(x):=f'(x)$, para cada una de las $x\in U$.
Recíprocamente, la fijación de $k=0$, podemos ver que $f$ es diferenciable en a $U$ $f'(x)=A(x),\forall x\in U$ (y por lo tanto continua). Pero yo no podía probar que $f'$ es continuo...

Cualquier sugerencia? Gracias!

Answer 1

Completar mi tarea (y para referencia en el futuro):
Fix $x\in U$ y considerar la posibilidad de $g_x:=f-f'(x)$ ($g$ es diferenciable, ya que es la suma de una función derivable y un operador lineal). Por hipótesis, por $h',k'\in B(0;\delta)$ hemos $$ \frac{\|g_x(x+h')-g_x(x+k')\|}{\|h'-k'\|}=\frac{\|f(x+h')-f(x+k')-f'(x)(h'-k')\|}{\|h'-k'\|}<\epsilon $$ en particular, teniendo en $h'=x_0+th-x$$k'=x_0-x$,$x_0\in B(x;\delta)$$th\in B(0;\delta)$, tenemos $$ \frac{\|g_x(x_0+th)-g_x(x_0)\|}{|t|\|h\|}<\epsilon $$ Ya que este tiene para todos los $t$ pequeños, podemos tomar el límite y tenemos $\displaystyle\frac{\|g'_x(x_0)\cdot h\|}{\|h\|}\le\epsilon$. Desde $h$ es arbitrario (en el sentido de que dado $u\in\mathbb{R}^m$,$\|u\|=1$, podemos encontrar una adecuada $h$$\frac{h}{\|h\|}=u$), tenemos la norma de que el operador $\|g'_x(x_0)\|\le\epsilon$. Pero $g'_x(x_0)=f'(x_0)-f'(x)$, por lo tanto, si $x_0,y_0\in B(x;\delta)$, luego $$ \|f'(x_0)-f'(y_0)\|\le\|f'(x_0)-f'(x)\|+\|f'(x)-f'(y_0)\|\le2\epsilon $$ y esto demuestra que $f'$ es continua en a $x$, pero desde $x$ es arbitrario, tenemos $f$ continuamente diferenciable.