He preguntado esto en matemáticas de intercambio de la pila, debido a que la mayoría de sus mathemtical contenido, pero, aparte de un upvote y un mínimo de puntos de vista no ha ganado ninguna atención, así que estoy tratando aquí. Esto no es algo realmente importante, pero ha sido stratching la parte de atrás de mi cabeza mientras estudiaba variacional formalismo en la teoría general de la relatividad.
"Vamos a $(M,\mathcal{S},g)$ ser un buen, $n$-dimensiones del colector equipado con una métrica de Riemann. Deje que nos denota el espacio vectorial de $(p,q)$-tipo de tensor de campos en $M$$\mathcal{T}_{q}^{p}(M)$.
Deje $\Psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathcal{T}_{q}^{p}(M),\varepsilon\mapsto\Psi(\varepsilon)$ ser una curva suave y nos permiten utilizar la notación de donde $\Psi$ denota $\Psi(0)$.
Deje $S:\mathcal{T}_{q}^{p}(M)\rightarrow\mathbb{R}$ funcional, de tal manera, que $$S[\Psi]=\int_{M}\mathcal{L}(\Psi,\nabla\Psi)\sqrt{|\det(g)|}\mathrm{d}x^{1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{n}.$$
En este caso, podemos decir $S$ es funcionalmente derivable en a $\Psi$, si existe una $\frac{dS[\Psi]}{d\Psi}\in\mathcal{T}_{p}^{q}(M)$ tensor de campo, que $$\left.\frac{dS[\Psi(\varepsilon)]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\int_M\frac{dS[\Psi]}{d\Psi}\bullet\left.\frac{d\Psi(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\sqrt{|\det(g)|}\mathrm{d}x^{1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{n},$$ where $\viñeta$ denota la plena contracción.
Mis preguntas son acerca de los detalles técnicos de este derivado. La física de los libros en general no imponen condiciones rigurosas en el espacio del tensor de campos en que se $S$ está definido.
¿Qué estructuras hace que este espacio debe poseer para que esto tiene sentido? Supongo Hausdorff-topología es una necesidad, pero ¿es necesario ser normativa? Si es así, ¿qué norma no utilizamos, que no entre en conflicto con la física, o lo que la norma tiene sentido en un contexto físico?
Wald menciona en una nota al pie de página, que, en general, un tensor de distribución de necesidades existen, por lo que el $$\left.\frac{dS[\Psi(\varepsilon)]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\left\langle\frac{dS[\Psi]}{d\Psi},\left.\frac{d\Psi(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\right\rangle.$$ Es allí cualquier situación concebible dentro de los límites de la física, donde esta distribución es singular, es decir,. no existe como una integral?"
