¿Resolución de $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^3}{8^n}$?

Question

Yo estaba tratando de solucionar $ \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^3}{8^n}$ y he encontrado una manera de resolver esto y quiero que si hay generalizaciones, por ejemplo, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{a^n}$ en términos de$k$$a$. También me gustaría saber si hay una mejor manera de resolverlo. He aquí cómo lo hice:

En primer lugar me descompone la serie en las siguientes sumas:

$S_1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \dots = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}}$

$S_2 = \frac{7}{64} + \frac{7}{512} + \dots = \frac{\frac{7}{64}}{\frac{7}{8}}$

$S_3 = \frac{19}{512} + \frac{19}{4096} + \dots = \frac{\frac{19}{512}}{\frac{7}{8}}$

Y deduce que la suma puede ser escrito como $\frac{8}{7} \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{3n^2 - 3n + 1}{8^n}$

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{8^n}$ es fácil de evaluar-es $\frac{1}{7} $por la serie geométrica

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{8^n}$ puede ser evaluado en un montón de maneras de obtener una respuesta de $\frac{8}{49}$.

Queda por evaluar $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^2}{8^n}$, por lo que tomé un método similar al de la cúbicas por la descomposición en muchas sumas:

$T_1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \dots = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}}$

$T_2 = \frac{3}{64} + \frac{3}{512} + \dots = \frac{\frac{3}{64}}{\frac{7}{8}}$

Y así sucesivamente, llegando a la conclusión de que es igual a $\frac{8}{7} \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2n-1}{8^n}$

Ahora, he utilizado esta información y por encima de los valores de $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{8^n}$ $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{8^n}$ para obtener la suma como $\frac{776}{2401}$, lo cual es confirmado por WA.

Así que, me gustaría reiterar aquí: hay una forma más simple para calcular esta suma, y hay algún conocido que las generalizaciones de este problema debido a un arbitrario $a$ en el denominador y arbitraria $k$ como el exponente del numerador?

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Con $p\ \ni\ \verts{p} < 1$: \begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty}p^{n} &= {p \over 1 - p} = - 1 + {1 \over 1 - p} \end{align} Derivar respecto de $p$ y después de que multiplicar por $p$: \begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty}np^{n} &= {p \over \pars{1 - p}^{2}} \\ \sum_{n = 1}^{\infty}n^{2}p^{n} &= -\,{p + p^{2} \over \pars{1 - p}^{3}} \\ \sum_{n = 1}^{\infty}n^{3}p^{n} &= {p - 4p^{2} + p^{3} \over \pars{1 - p}^{4}} \end{align}

Set $p = 1/8$: $$\color{#00f}{\large% \sum_{n = 1}^{\infty}n^{3}\pars{1 \over 8}^{n} = \a la izquierda.{p - 4p^{2} + p^{3} \\pars{1 - p}^{4}}\right\vert_{p\ =\ 1/8} = {776 \sobre 2401}} $$

Answer 2

Allí resulta para ser un truco estándar que se aplica aquí: dejar

$$ f(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^n}{8^n} $$

Nosotros podemos calcular esta suma ya que es una serie geométrica. La idea aseada, ahora, es que

$$ f'(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{8^n} $$

o, alternativamente,

$$ x f'(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{n x^n}{8^n} $$

Repetir unas cuantas veces, luego conecte en $x=1$, y obtienes la respuesta.

Answer 3

$$\sum {n\choose k}x^n$$ is easy to sum, using the binomial theorem. Then if you can express $n^k$ in terms of ${n\choose0},{n\choose1},\dots,{n\choose k}$, you can get a formula for $\sum n ^ kx ^ n $. Expressing powers of $n # $ en cuanto a los coeficientes binomiales puede hacerse utilizando números de Stirling, que te invito a ver.