Un subespacio propio de un espacio vectorial normado tiene el interior vacío.

Question

En un espacio vectorial normalizado $E$ demostrar que todo subespacio vectorial $F\neq E$ tiene un interior vacío.

Mi enfoque:Consideramos, el balón abierto $B\subset F$ con $F$ subespacio propio de $E$ . Si $x\notin F$ entonces podemos aumentar el radio de la bola abierta $B$ , de tal manera que $x\in B$ , luego el balón abierto $B$ salió del subespacio $F$ Por lo tanto, no puede haber tal bola abierta. Esta es mi intuición, pero no sé cómo escribir esto "matemáticamente".

Answer 1

Configuración y una pista:

Dejemos que $x \in F$ . Dejemos que $y \in E \setminus F$ , $\| y \|=1$ . Entonces $\| x - (x+\varepsilon y/2) \|=\varepsilon/2<\varepsilon$ . Así que si $x+\varepsilon y/2 \not \in F$ entonces $B_\varepsilon(x) \not \subset F$ .

Ahora demuestre que para cada $\varepsilon > 0$ , $x+\varepsilon y/2 \not \in F$ . Mi sugerencia: suponga que está en $F$ y concluir que $y \in F$ , lo cual es una contradicción.

Así que hemos demostrado que $F$ no contiene ninguna bola abierta alrededor de ninguno de sus puntos. ¿Por qué esto implica que no contiene ninguna bola abierta?

Su enfoque también funciona. Supongamos que $F$ contiene alguna bola. Entonces también contiene una bola del mismo radio centrada en cero (resta el centro de cada vector de la bola original). Por lo tanto, también contiene cualquier dilatación de esta nueva bola centrada en cero (multiplique por cualquier escalar que desee). Pero cualquier vector puede estar en alguna de esas dilataciones; así $F=E$ que es una contradicción.

Me gusta más mi enfoque, porque hacemos trucos similares en problemas poco relacionados. (Por ejemplo, podemos utilizar una técnica muy similar para demostrar que $L^2[0,1]$ es un escaso subconjunto de $L^1[0,1]$ .)