¿Tiene una estructura de espacio vectorial real con dimensión diferente $\mathbb{R}^n$ $n$?

Question

¿Podemos definir una estructura de espacio vectorial en $\mathbb {R}^n$ que no sea la habitual multiplicación escalar y además generalmente tal que la dimensión de la $\mathbb {R}^n$ $\mathbb {R}$ no se $n$ pero algunos $m$ no es igual a $n$?

Answer 1

Sí, se puede. Vamos $m, n \geq 1$, $m \neq n$.

Como $\mathbb{R}^m$ $\mathbb{R}^n$ tienen la misma cardinalidad, hay un bijection $\varphi : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$. Ahora podemos definir una alternativa espacio vectorial estructura en $\mathbb{R}^n$ como sigue:

• para $a \in \mathbb{R}$ y $v \in \mathbb{R}^n$, $a\cdot v := \varphi(a\varphi^{-1}(v))$,
• para $v, w \in \mathbb{R}^n$, $v + w := \varphi(\varphi^{-1}(v) + \varphi^{-1}(w))$.

Usted puede verificar que todos los axiomas son satisfechos (el vector cero es $\varphi(0)$, y el inverso aditivo de a$v$$\varphi(-\varphi^{-1}(v))$).

La dimensión de este espacio vectorial no es $n$ sino $m$. Una explícita base está dada por $\{\varphi(e_1), \dots, \varphi(e_m)\}$.

Este es un ejemplo de un transporte de la estructura.

Answer 2

Consideran un espacio del vector $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{Q}$. La dimensión es $\infty$.