Caracterización functorial de morfismos de los regímenes de

Question

Esta pregunta es similar en espíritu a esta:

Functorial caracterización de abrir subschemes?

En la de arriba MO pregunta, un "functorial" caracterización se da por cerrado inmersiones y abrir las inmersiones. Me pregunto si no son similares caracterizaciones de conceptos tales como universalmente cerrado, separado, adecuada, proyectiva, etc.? O tal vez hay caracterizaciones en un sabor diferente? En particular, me pregunto si podemos trabajar a través functors (es decir, la generalización de los esquemas), hay cosas como los separados/adecuado/etc morfismos entre functors?

Cualquier referencia o comentario se agradece!

Answer 1

Retirar el papel de Kontsevich-Rosenberg no conmutativa espacios y no conmutativa Grassmannian y relacionados con las construcciones. Usted conseguirá lo que desea. es decir, la definición de propio y separatedness de presheaves(como functors, tomadas como "espacio") y morfismos entre presheaves(natural de las transformaciones).

Observe que estas definiciones son las condiciones generales del tratamiento de la geometría algebraica en functorial punto de vista,nada que ver con no conmutativa.

Definición por separado de morfismos y separados presheaves

Deje $X$ $Y$ ser presheaves de los conjuntos en una categoría $A$(en particular, $CRings^{op}$). Llamamos a una de morfismos $X\rightarrow Y$ separados si la canónica de morfismos

$X\rightarrow X\times _{Y}X$ es cerrado inmersión decimos que un presheaf $X$ $A$ es separado si la diagonal de morfismos: $X\rightarrow X\times X$ es cerrado inmersión

Definición estricta monomorphism y cerrado de inmersión

Para un morfismos $f$: $Y\rightarrow X$ de una categoría $A$, denotan por $\Lambda _{f}$ a la clase de todos los pares de morfismos

$u_{1}$,$u_{2}$:$X\Rightarrow V$ igualar $f$, $f$ se llama un estricto monomorphism si alguno de morfismos $g$: $Z\rightarrow X$ tal que $\Lambda_{f}\subseteq \Lambda_{g}$ tiene una única descomposición: $g=f\cdot g'$

Ahora hemos llegado a la definición de cerrado de inmersión: Vamos a $F,G$ ser presheaves de los conjuntos en $A$. Una de morfismos $F\rightarrow G$ cerrado de inmersión si es representable por una estricta monomorphism.

Ejemplo

Deje $A$ ser la categoría de $CAff/k$ de los conmutativa afín a los esquemas de más de $Spec(k)$, luego estricto monomorphisms son exactamente cerrado de inmersión(classcial sentido)de afín esquemas. Deje $X,Y$ ser arbitraria esquemas identificados con la correspondencia de las poleas de los conjuntos en la categoría de $CAff/k$. A continuación, una de morfismos $X\rightarrow Y$ es un cerrado de inmersión en el fib es un cerrado de inmersión en sentido clásico(Hartshorne o EGA)

Definición adecuada de morfismos sólo sigue la clásica definición: es decir, universal cerrados y separados. Usted también puede encontrar la definición de universal cerrado de morfismos en functorial sabor en el papel que he mencionado.

Answer 2

Otro punto de vista

si usted sigue la página que cita: Functorial caracterización de abrir subschemes. También hay correspondencia nociones para separatedness y propio, y así sucesivamente. Permítanme elaborar un poco.

Lo que tienes que hacer es identificar un conmutativa esquema de $X$ $Qcoh_{X}$(Gabriel-Rosenberg reconstrucción teorema). Vamos$f_{*}$=$F$

:$Qcoh_{X}\rightarrow Qcoh_{Y}$ (Suponga $X,Y$ son cuasi compacto y cuasi separado).

Affineness $F$ es afín a si $f_{*}$ es conservador(fieles en abelian caso),habiendo dejado functor adjunto

$f^{*}$ y tener derecho adjoint functor $f^{!}$

cerrado inmersión

Deje $C_{X}=Qcoh_{X}$$C_{U}=Qcoh_{U}$.(Supongamos que son abelian categorías). Entonces $C_{U}\rightarrow C_{X}$ ($u_{*}$) está cerrada la inmersión si ($u_{*}$) es un categórico de la equivalencia de:

$C_{U}$ y completa topologizing subcategoría $C_{V}$ $C_{X}$(topologizing subcategoría está lleno subcategoría que es cerrado bajo finito suma directa y subquotient tomado en $C_{X}$)

thickennings

Llamamos a un cerrado de inmersión $U\rightarrow T$ un thickenning, si el más pequeño saturada multiplicativo del sistema en $HomC_{T}$ contiene $(u*)(HomC_{U})$ coincide con $Hom(C_{T})$

Formalmente liso,formalmente unramified,formalmente etale

Voy a hablar de estos conceptos más adelante. Ellos se definen a través de thickennings.

separatedness y propio

Una vez que usted tiene la definición de cerrado de inmersión arriba, la definición de separatedness es libre(sigue el mismo patrón EGA) Propio es similar. Voy formulado más tarde.

Aviso

La razón para identificar el espacio con la categoría de cuasi coherente poleas en que es principalmente para no conmutativa la geometría algebraica. Lo que escribí aquí es trivial caso de esta consideración porque nos puede caer a la categoría de idioma en el conmutativa caso.

Functor punto de vista y categórica punto de vista no son equivalentes en general