no es isométrico a $R^2$ $R^3$

Question

¿Existe una prueba directa para demostrar que $R^2$ no es isométrica a $R^3$ (con la métrica usual)? Sé que no son homeomorohic pero creo que debe ser una prueba fácil y directa para demostrar que no son isométricas.

Answer 1

En $\mathbb R^2$ no existe una configuración de $4$ puntos que están a distancia $1$ unos de otros. Esto puede ser explicado por elemental de la geometría: una vez que fijar en dos puntos, sólo hay dos lugares uno puede poner un tercer punto para formar un triángulo equilátero, y la distancia entre esos lugares no es $1$.

Por otro lado, en $\mathbb R^3$ esto se puede lograr con los vértices de un tetraedro regular, de modo que los dos espacios no son isométricos.

(Este argumento es una reminiscencia de un clásico del rompecabezas: ¿cómo se puede organizar 6 idéntico palillos para formar 4 triángulos equiláteros?)