Extensiones cíclicas de \equiv E [p] F [p],

Question

Sea p un primo y sea K un campo que contiene el p-esima raíces de la unidad. Sea E una curva elíptica sobre K. consideramos que la moduli problema $Y_E(p)$, el cual envía el L conjunto de curvas elípticas F/L, y simpléctica isomorphisms $\phi:E[p] \rightarrow F[p]$. Sabemos que esta módulos problema es representable por una curva de más de $K$, y nos vamos a la compactification de esta curva se $X_E(p)$. Sabemos $X_E(p)$ es un giro de la $X(p)$. Del mismo modo, podemos construir $X_E(p^2)$, y vemos que $X_E(p^2)$ es una funda normal de $X_E(p)$. Creo que el grupo de Galois de $X_E(p^2)/X_E(p)$$(Z/pZ)^3$. Si ese es el caso, entonces dado cualquier K punto de $X_E(p)$, podemos mirar a la fibra con respecto a este punto. Esta fibra es definida sobre K, por lo tanto, es definir un campo de extensión de K, con grupo de Galois de un subconjunto de a $(Z/pZ)^3$.

Esto significa que, si tenemos E y F definida sobre K, con $E[p] \equiv F[p]$, entonces deberíamos ser capaces de construir un cíclica de la extensión de K de orden p. ¿Qué es la extensión?

Answer 1

La respuesta es que, de hecho, esta construcción no se producen cíclico extensiones! El problema es que $X_E(p^2) \to X_E(p)$ no es genéricamente Galois; es tan sólo después de la extensión del campo de tierra.

Aquí está una explicación más detallada. Suponga que $p \ge 3$ y $p \nmid \operatorname{char} K$. A continuación, $Y_E(p^2) \to Y_E(p)$ es un torsor no en $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^3$, pero en virtud de la étale esquema de grupo $G$ correspondiente a la Galois módulo de $\mathbb{F}_p$-lineal endomorphisms $g \colon E[p] \to E[p]$ de traza cero. Explícitamente, $g \in G(\overline{K})$ mapas de $(F,\Phi) \in Y_E(p^2)(\overline{K})$ $(F,\Phi')$donde $\Phi'(x):=\Phi(x+g(px))$. (Cualquier $\Phi'\colon E[p^2] \to F[p^2]$ con la misma restricción a $E[p]$ $\Phi$ surge de algunos $g \in \operatorname{End} E[p]$ de esta manera, y el seguimiento-la condición de cero es lo que garantiza que $\Phi'$ es simpléctica.) Finalmente, este módulo de Galois es típicamente irreductible, en cuyo caso no tiene $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ como un cociente.