¿Cómo factorizar esta ecuación cúbica?

Question

En uno de los libros de matemáticas, el autor factorizó el siguiente término

$$x^3 - 6x + 4 = 0$$ a

$$( x - 2) ( x^2 + 2x -2 ) = 0.$$

¿Cómo lo hizo?

Answer 1

Hay un truco ingenioso llamado el teorema de las raíces racionales. Todo lo que tenemos que hacer es factorizar los primeros y últimos números, ponerlos sobre una fracción y tomar $\pm$. Esto nos da las siguientes posibles raíces racionales:

$$x\stackrel?=\pm1,\pm2,\pm4$$

debido a la factorización de $4$. Comprobando estos, está claro que $x=2$ es la única raíz racional, ya que

$$\begin{align}0&\ne(+1)^3-6(+1)+4\\0&\ne(-1)^3-6(-1)+4\\\color{#4488dd}0&=\color{#4488dd}{(+2)^3-6(+2)+4}\\0&\ne(-2)^3-6(-2)+4\\0&\ne(+4)^3-6(+4)+4\\0&\ne(-4)^3-6(-4)+4\end{align}$$

quedándonos con

$$x^3-6x+4=(x-2)(\dots)$$

Podemos encontrar el resto mediante división sintética:

$$\begin{array}{c|c c}2&1&0&-6&4\\&\downarrow&2&4&-4\\&\hline1&2&-2&0\end{array}$$

lo que nos da nuestra factorización:

$$x^3-6x+4=(x-2)(x^2+2x-2)$$

Answer 2

Dado que no conoces la Prueba de raíces racionales, consideremos un caso más simple: la Prueba de Raíces Enteras.

Si $\,f(x)= x^3+6x+4\,$ tiene una raíz entera $\,x=n\,$ entonces $\,n^3+6n+4 = 0\,$ por lo que $\,(n^2+6)\,\color{#c00}{n = -4},\,$ por lo tanto $\,\color{#c00}{n\ \ {\rm divide}\ \ 4}.\,$ Probando todos los divisores de $4$ se muestra que $2$ es una raíz, por lo tanto $\,x-2\,$ es un factor de $f$ según el Teorema del Restante. El cofactor $\,f/(x-2)\,$ es calculable mediante el algoritmo de División de Polinomios (larga) (o incluso por coeficientes indeterminados).

Observación $\ $ Este es un caso muy especial de relaciones generales entre la factorización de polinomios y las factorizaciones de sus valores. Por ejemplo, se pueden derivar relaciones entre primalidad y compuestosidad de polinomios basados en las mismas propiedades de sus valores. Por ejemplo, dado que $\ 9^4\!+8\ $ es primo entonces también lo es $\, x^4+8\,$ por el Test de irreducibilidad de Cohn. Ver esta respuesta y sus enlaces para algunas de estas hermosas ideas de Bernoulli, Kronecker y Schubert.

Answer 3

Nota: Entiendo que ya hay una respuesta aceptada para esta pregunta, por lo que esta respuesta puede ser inútil, pero de todos modos la estoy publicando para difundir conocimiento!

Una manera simple de factorizar polinomios cúbicos deprimidos de la forma$$x^3+Ax+B=0\tag1$$

Es primero mover todas las constantes a la derecha, por lo que $(1)$ se convierte en$$x^3+Ax=-B\tag2$$ Ahora, encuentra dos factores de $B$ de manera que un factor menos el cuadrado del otro factor sea $A$. Los llamaremos $a,b$ así$$\begin{align*} & a-b^2=A\tag3\\ & ab=-B\tag4\end{align*}$$ Multiplica $(2)$ por $x$, añade $b^2x^2$ a ambos lados y completa el cuadrado. Resolviendo debería darte un valor de $x$ y permitirte factorizar $(1)$ por División Sintética.

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Ejemplos:

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1. Resolver $x^3-6x+4=0$ (tu pregunta)

Moviendo $4$ hacia la derecha y observando sus factores, tenemos $-2,2$ como $a,b$ ya que$$-2-2^2=A\\-2\cdot2=-4$$Por lo tanto, tenemos lo siguiente:$$x^4-6x^2=-2\cdot2x$$$$x^4-6x^2+4x^2=4x^2-4x$$$$x^4-2x^2=4x^2-4x$$$$x^4-2x^2+1=4x^2-4x+1\implies(x^2-1)^2=(2x-1)^2$$$$x^2=2x\implies x=2$$ Ten en cuenta que también tenemos que considerar el caso negativo al hacer la raíz cuadrada, pero conducen a la misma pareja de respuestas. Así que es inútil.

2. Resolviendo $x^3+16x=455$

Un factor de $455$ funciona, específicamente cuando $a=65,b=7$.$$65-7^2=16$$$$65\cdot7=455$$ Por lo tanto,$$x^4+16x^2=65\cdot7x$$$$x^4+65x^2=49x^2+455x$$$$\left(x^2+\dfrac {65}{2}\right)^2=\left(7x+\dfrac {65}{2}\right)^2$$$$x=7$$

Answer 4

El teorema de las raíces racionales nos da una lista de todas las posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros que tienen un coeficiente líder dado y un coeficiente constante dado. En este caso, el coeficiente líder es $1$ y el coeficiente constante es $4.$ El teorema nos dice que todas las raíces racionales están en el conjunto $\left\{ \pm\dfrac 1 1, \pm\dfrac 2 1, \pm \dfrac 4 1 \right\},$ siendo el numerador en este caso el único divisor del coeficiente líder $1$ y los denominadores siendo los divisores del coeficiente constante $4$. Eso no significa que hay raíces racionales; solo significa que no hay ninguna que no pertenezca a este conjunto. Solo hay seis miembros en este conjunto, así que es fácil sustituir en todos ellos y ver si obtienes $0$. Cuando sustituyes $2$, obtienes $0$, así que ahí tienes tu factorización.

Answer 5

Si $P$ es un polinomio con coeficientes reales y si $a\in\mathbb{R}$ es una raíz, lo que significa que $P(a)=0$, entonces existe un polinomio real $Q$ tal que $\forall x\in\mathbb{R},\quad P(x)=(x-a)\,Q(x)$.

En este caso, se puede ver por inspección que $P(2)=0$.

Resta encontrar las constantes reales $A,B,C$ tales que:

$$\forall x\in\mathbb{R},\quad x^3-6x+4=(x-2)(Ax^2+Bx+C)$$

La identificación de coeficientes lleva a $A=1$, $-2C=4$ y, por ejemplo, $A-2B=0$ (igualando los coeficientes de $x^2$ en ambos lados).