Prueba

Question

Definir %#% $ #%

Supongamos que he probado que $$\ln (x) = \int^{x}_{1}\frac{1}{t}$ es uno a uno y por lo tanto tiene una inversa $\ln x$.

Definir $\exp (x)$ como:

$e$

Ahora, si usted no tiene ninguna otra noción de exponenciales y logaritmos, ¿cómo podría definir qué $\ln e = 1$ significa y demostrar que es el inverso del $e^x$?

Podrá asumir la propiedad de producto y cociente logarítmica.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Escrito $f$ $\ln$ $g$ por su inverso, puede mostrar fácilmente que $g$ es infinitamente diferenciable y que $g^{(n)}(0) =1$. Esto le da a usted la serie de Taylor $g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$. Después de eso, todo lo que sigue a partir del análisis clásico de $g$ que se realiza en cada escuela primaria variables reales de texto (ver Rudin del Real Y Complejo el Análisis, por ejemplo).

Como recuerdo, el primer "Capítulo 0" de que el texto es una maravilla de la sucinta de las matemáticas que construye la función exponencial a partir de cero. Es realmente un placer leer y siempre estoy impresionado en su penetración cada vez que lo leí.

Answer 2

La divulgación completa: esto es esencialmente una reescritura de MPW la respuesta.

La definición de $e^x$ $\sum\limits_{k=0}^{\infty} {x^k\over{k!}}$ tiene sentido, en un camino que es el más fundamental de los/definición general porque puede aplicarse a cualquier sistema para que la suma, la multiplicación y la escala están definidos. Reales, números complejos, cuaterniones, matrices, etc.

Ahora, desde el cálculo tenemos este resultado: $$\frac{d}{dx} \left[ f^{-1}(x) \right] = {1\over{f'(f^{-1}(x))}}$$

Por el teorema fundamental del cálculo obtenemos $\ln'(x)$$1\over{x}$, por lo tanto: $$\frac{d}{dx} \left[ \ln^{-1}(x) \right] = \ln^{-1} (x)$$

De ello se deduce (formalmente por inducción) que el $n$th derivado de la $\ln^{-1}(x)$ $\ln^{-1}(x)$ y por lo tanto el $n$th derivado en$x = 0$$\ln^{-1}(0) = 1$.

De este modo obtenemos la serie de Taylor: $$ \ln^{-1}(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} {x^k\over{k!}} = e^x$$

Answer 3

Preliminares:

En primer lugar, no es necesario asumir que el producto o el cociente de la regla, como se sigue de la definición:

$$\ln (xy) = \int^{xy}_{1}\frac{1}{t}=\int^{x}_{1}\frac{1}{t} +\int^{xy}_{x}\frac{1}{t}= \int^{x}_{1}\frac{1}{t} dt +\int^{xy}_{x}\frac{x}{xt}dt$$

Ahora, si hacemos la sustitución de $u=xt$ en la segunda integral, se obtiene: $$\ln (xy) = \int^{x}_{1}\frac{1}{t} dt +\int^{y}_{1}\frac{1}{u}du=\ln(x)+\ln(y)$$

El quotiont regla para el logaritmo de la siguiente manera a partir de aquí, o puede ser probado de la misma manera.

Segundo, se desprende de la FTC que $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.

Por último, la definición de logaritmo tiene sentido para $x>0$, e $\ln'(x)=\frac{1}{x} >0$ en su dominio, lo que implica que $\ln(x)$ es de uno a uno. Por lo tanto, tiene una inversa.

También puede ser demostrado a partir de la definición que el rango de $\ln$$\mathbb R$. Por lo tanto tiene un inverso $\exp(x) : \mathbb R \to (0, \infty)$, y todas estas propiedades seguir a partir de su definición, nada debe ser asumido.

La prueba de que $\exp(x)=e^x$

Desde $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ su inversa de la función satisface la ecuación funcional $$\exp(x+y)=\exp(x) \exp(y)$$

A partir de aquí [exactamente como en la ecuación de Cauchy], se obtiene por inducción que $$\exp(nx)=[\exp(x)]^n$$ para todos los enteros positivos, y, a continuación, para todos los números enteros.

A partir de aquí se desprende también que $$\exp(\frac{p}{q})=[\exp(1)]^{\frac{p}{q}} \,.$$

Tal como se han definido $e=\exp(1)$, esto demuestra que

$$\exp(r)=e^r \, \forall r \in \mathbb Q \,.$$

Por último, desde el $e >1$ (que sigue de la definición de logaritmo), la función de $e^x$ es el aumento de [nota de que, desde que se definen $e=\exp(1)$ usted no debe usar la derivada de aquí, como no sabes si tu no tienes un diferente $e$].

Por otra parte, se sigue inmediatamente de la definición anterior de $\ln(x)$ que $\ln(x)$ es estrictamente una función creciente, y por lo tanto, es su inversa.

Ahora, su reclamación se sigue inmediatamente de la siguiente lema aplicado para f(x)=e^x, g(x)=\exp(x)$:

Lema Deje $f(x), g(x)$ ser de dos funciones crecientes. Si $f(x)$ es continua y $f(x)=g(x) \forall x \in \mathbb Q$$f=g$.

La prueba es fácil, para cada una de las $x \in \mathbb R$ elegir dos secuencias de racionales, uno de los cuales es el aumento de a $x$, y el otro, que es la disminución de a $x$ y el uso de la monotonía + continuidad de $f$.

Bono Para demostrar que su definición de $e$ es el estándar, tenga en cuenta que desde $\ln'(x)=\frac{1}{x}$ la fórmula para la derivada de la inversa de la función de los rendimientos $$[e^x]'=e^x$$