Encuentra la suma de todos los múltiplos de 3 o 5 por debajo de 1000

Question

¿Cómo resolver este problema, no puedo entenderlo?

Si enumeramos todos los números naturales por debajo de 10 que son múltiplos de 3 o 5, obtenemos 3, 5, 6 y 9. La suma de estos múltiplos es 23.

Encuentra la suma de todos los múltiplos de 3 o 5 por debajo de 1000.

Answer 1

La respuesta publicada anteriormente no es correcta. El enunciado del problema es sumar los múltiplos de 3 y 5 por debajo de 1000, no hasta y con 1000. La respuesta correcta es \begin{eqnarray} \sum_{k_{1} = 1}^{333} 3k_{1} + \sum_{k_{2} = 1}^{199} 5 k_{2} - \sum_{k_{3} =1}^{66} 15 k_{3} = 166833 + 99500 - 33165 = 233168, \end{eqnarray> donde hemos utilizado la identidad \begin{eqnarray} \sum_{k = 1}^{n} k = \tfrac{1}{2} n(n+1). \end{eqnarray>

Answer 2

En primer lugar, deja de pensar en el número $1000$ y enfócate en el número $990$ en su lugar. Si resuelves el problema para $990$, solo tienes que sumarle $993, 995, 996$ y $999$ para obtener la respuesta final. Esta suma es $(a)=3983$

Cuenta todos los números divisibles por $3$: Desde $3$... hasta $990$ hay $330$ términos. La suma es $330(990+3)/2$, así que $(b)=163845$

Cuenta todos los números divisibles por $5$: Desde $5$... hasta $990$ hay $198$ términos. La suma es $198(990+5)/2$, así que $(c)=98505$

Ahora, el MCD (máximo común divisor) de $3$ y $5$ es $1$, por lo que el MCM (mínimo común múltiplo) debería ser $3\times 5 = 15$.

Esto significa que cada número que se divide por $15$ fue contado dos veces, y solo debería contarse una vez. Debido a esto, tienes un conjunto adicional de números que van desde $15$ hasta $990$ que deben eliminarse de (b) y (c).

Entonces, desde $15$... hasta $990$ hay $66$ términos y su suma es $66(990+15)/2$, así que $(d)=33165$

La respuesta al problema es: $(a)+(b)+(c)-(d) = 233168$

Problema simple pero muy divertido.

Answer 3

Los múltiplos de 3 son 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,....

Los múltiplos de 5 son 5,10,15,20,25,30,35,40,45,....

La intersección de estas dos secuencias es 15,30,45,...

La suma de los primeros números 1+2+3+4+...+n es n(n+1)/2.

La suma de los primeros múltiplos de k, digamos k+2k+3k+4k+...+nk debe ser kn(n+1)/2.

Ahora solo tienes que unir estos ingredientes para resolver el problema.

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Dado que se nos pide buscar los números por debajo de 1000, observaremos los números hasta el número 999.

Para encontrar n, utiliza 999/3 = 333 + resto, 999/5 = 199 + resto, 999/15 = 66 + resto, usando a*(m*(m+1)/2) , donde m=n/a. aquí a es 3 o 5 o 15, y n es 999 o 1000 pero 999 es el mejor, y luego suma los múltiplos de 3: $3((333)*(333+1)/2) = 166833$ más los múltiplos de 5: $5((199)*(199+1)/2) = 99500$; y resta los múltiplos de 15 $15((66)+(66+1)/2 )= 33165$ para obtener 233168.

Answer 4

Bueno, la ecuación principal ya está dada arriba. ¡La única pregunta que me da problemas es por qué tengo que restar la suma de 15?! Bueno, la respuesta es que 15 se puede dividir uniformemente por 3 y 5. ¡Así que los productos de 15 también se pueden dividir por esos números! Por lo tanto, cuando sumas los números con Sum Of Three y Sum Of Five hay algunos números (es decir, 15, 30, 45, 60....) que están disponibles en ambas SUMATORIAS. ¡Así que tienes que restar al menos una vez de la suma total para obtener la respuesta!

¡Espero que esto ayude a alguien como a mí :) !!