Sea $T$ el conjunto de árboles binarios completos. ¿En qué manera $T^7 \cong T$?

Question

Estaba leyendo las diapositivas de una charla de Tom Leinster. Tengo problemas para entender la última línea de la página 17 (páginas 1-15 son irrelevantes y puede ser omitido). Podría alguien por favor que me lo explique?

Si me traducir correctamente las imágenes, $T$ se define como el conjunto de todos los árboles binarios. Un árbol binario completo es:

• un solo vértice, $\bullet$

• un gráfico formado por tomar dos árboles binarios, la adición de un vértice, y la adición de un borde dirigido desde el nuevo vértice a la raíz de cada árbol binario.

A continuación,$T \cong \{ \bullet \} \sqcup (T \times T)$. Así $$|T| = 1 + |T|^2.$$ (Note: I think the last equation also holds if we defined $T$ to be the set of all (not necessarily full, and possibly empty) binary trees since then $T \cong \{\emptyset\} \sqcup (T \times T)$.)

Olvidando lo $|T|$ representa, podemos resolver la ecuación anterior para $|T|$ y encontrar que $|T|=e^{\pm i\pi/3}$. Por lo tanto $|T|^7 = |T|$. Esto sugiere que la $T^7 \cong T$. Tom Leinster escribe "Esto realmente es cierto!". ¿Por qué es eso?

Answer 1

El papel de los Siete Árboles en Uno exhibe un "muy explícito bijection" $T^7\cong T$. Tal vez es un poco engorroso porque se requiere la separación en cinco casos, se basan en cómo los siete árboles se ven en los primeros cuatro niveles de profundidad. Una prueba está presente también. Descargo de responsabilidad: yo no lo he leído.

Otro papel de los Objetos de las Categorías, como los Números Complejos , se analiza la relación entre el álgebra (en particular, la manipulación de los elementos del polinomio semirings modulo de relaciones) y natural isomorphisms. De hecho, si consideramos un conjunto inicial de las relaciones satisfecho por un objeto a una clase de prototipo isomorphisms, entonces podemos "hacer álgebra" utilizando las relaciones y traducir eso en una secuencia de isomorphisms. Por ejemplo, escriben los autores que uno puede hacer

$$\begin{array}{ll} T & \cong 1+T^2 \\ & \cong 1+T+T^3 \\ & \cong 1+T+T^2+T^4 \\ & \cong 2T+T^4 \\ & \cdots \\ & \cong T^7 \end{array} $$

con $18$ isomorphisms en total. (Este no es el bijection exhibió en 7 árboles en 1.)