Si $f$ es todo y $\lim_{z\to\infty} \frac{f(z)}{z} = 0$ muestran que $f$ es constante

Question

Estoy aprendiendo sobre el análisis complejo y la necesidad de verificar mi trabajo para este problema ya que mi libro de texto no proporciona ninguna solución:

Si $f$ es todo y $\lim_{z\to\infty} \frac{f(z)}{z} = 0$ muestran que $f$ es constante.

Mi trabajo y mis pensamientos:

A partir de la $\varepsilon$ - $\delta$ definición del límite tenemos que $$\forall{\varepsilon} > 0, \exists{n_0} \in \mathbb{N} : \forall{\left|z\right|} \geq n: \left| \frac{f(z)}{z} \right| < \varepsilon \iff \frac{\left| f(z) \right|}{\left| z \right|} < \varepsilon\iff \left| f(z) \right| < \varepsilon \left| z \right|.$$

Ahora vamos a $C_R = \{z \in \mathbb{C} : \left| z \right| = R \}$.

Para cada $\left| z \right| < R$, por Cauchy de la integral de la fórmula para los derivados tenemos que

$$ \left| f'(z) \right| = \frac{1}{2 \pi } \left| \int_{|\zeta|=R} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^2} \, d\zeta \right|= \frac{1}{2 \pi } \left| \int_{0}^{2\pi} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^2} \, \zeta'(t) dt \right| \le$$

$$\le \frac{1}{2\pi} \frac{\varepsilon \left| z \right|}{(R - \left| z \right|)^2} 2\pi R = \frac{\varepsilon \left| z \right|}{(R - \left| z \right|)^2} R.$$

Por lo tanto, dejando $R \rightarrow \infty$ se obtiene el resultado deseado, que es $$\left| f'(z) \right| \leq \lim_{R \to \infty} \frac{\varepsilon \left| z \right|}{(R - \left| z \right|)^2} R = 0 \implies f(z) = c \;\; \text{with} \; c \in \mathbb{C}.$$

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Es mi correcto? Hay partes de la prueba que necesita mejoras? También estoy buscando otros (posiblemente más rápido) soluciones con el "big guns" teoremas. El único que conozco es a Picard a poco teorema pero no se aplican aquí.

Editar:

Jennifer y Chris Apostol respuestas me puso a pensar de otra solución a este problema utilizando el teorema de Liouville:

Desde el límite de un producto es el producto de los límites que tenemos que $$\lim_{z\to\infty} \frac{f(z)}{z} = 0 \implies \lim_{z\to\infty} \frac{1}{z} \lim_{z\to\infty} f(z) = 0.$$ The LHS limit tends to zero and so $0 \cdot \lim_{z\to\infty} f(z) = 0$ which implies that $\lim_{z\to\infty} f(z) = c$ with $c \in \mathbb{C}$. Therefore the function $f$ is bounded, i.e. $|f(z)| \leq c$. So $f$ debe ser constante, por el teorema de Liouville.

Answer 1

Hay un error en la prueba. Tenga en cuenta que para el $\epsilon>0$, $|f(z)|<\epsilon |z|$ para $|z|>n_0$.

Por lo tanto, en $|\zeta|=R$, $|f(\zeta)|<\epsilon |\zeta|=\epsilon R$. Entonces, podemos escribir para $R>z$

$$\begin{align} |f'(z)|&=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta|=R}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\,d\zeta\right|\\\\ &\le \frac{1}{2\pi}\frac{\epsilon R}{(R-z)^2}\,(2\pi R)\\\\ &=\epsilon \frac{R^2}{(R-z)^2} \end{align}$$

Como $R\to \infty$, encontramos que para cualquier $\epsilon>0$, existe un número $n_0$, de tal manera que cada vez que $|z|>n_0$, $|f'(z)|<\epsilon$. Podemos concluir a partir de esto solo que

$$\lim_{z\to \infty}f'(z)=0$$

Otro enfoque es escribir $f(z)$ en términos de su serie de Taylor. Vemos, entonces, que

$$\begin{align} \lim_{z\to \infty}\frac{f(z)}{z}&=\lim_{z\to \infty}\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^{n-1}\\\\ &=\lim_{z\to \infty}\left(\frac{f(0)}{z}+f'(0)+\frac12 f''(0)z^2+\cdots \right)\\\\ &=0 \end{align}$$

sólo si todos los términos de la serie son cero, excepto posiblemente $f(0)$. Por lo tanto, $f(z)$ debe ser una constante.

Answer 2

Una solución más simple con el uso de la máxima módulo teorema.

Definir $g : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$, $g(z)=\begin{cases} \frac{f(z)-f(0)}{z-0}, & \text{if }z \neq 0 \\ f'(0), & \text{if }z=0 \end{cases}$

Por lo $g$ es también toda una función mediante la adición y el cociente de la totalidad de las funciones. $\lim_{z\to\infty}|g(z)|=\lim_{z\to\infty} |\frac{f(z)}{z}|=0$. Por lo $\exists L$ como $\forall z > L, |g(z)|< \epsilon$. En particular, esto es cierto en el círculo de centro $0$ y de radio $L$.

Con la máxima módulo teorema tenemos que el $max$ $g$ en el cerrado lanzamiento de disco de centro $0$ y de radio $L$ es igual a la $max$ $g$ sobre el círculo de centro $0$ y de radio $L$. Por lo $\forall z \in \mathbb{C}, |g(z)|< \epsilon$. Por lo $\forall z \in \mathbb{C}, g(z)=0$. Por lo $\forall z \in \mathbb{C},f(z)=f(0)$. Por lo $f$ es constante.

Answer 3

Como @Dr. Mv dijo, tenemos que $\lim_{z\rightarrow\infty}f'(z)=0$, lo que significa que $f'$ está acotada. Por el teorema de Liouville $f'$ es constante y, desde $\lim_{z\rightarrow\infty}f'(z)=0$, $f'=0$. Por lo tanto , $f$ es constante.