Variación cuadrática del movimiento browniano

Question

Variación cuadrática de un movimiento browniano $B$ en el intervalo $[0,t]$ se define como el límite en probabilidad de cualquier secuencia de particiones $\Pi_n([0,t])=\{0=t^n_0<\cdots<t^n_{k(n)}=t\}$ del intervalo $[0,t]$ tal que $\lim_{n\to \infty}\max_{i=1,\cdots,k(n)}|t^n_i-t^n_{i-1}|=0$ de la función $$V([0,t],\Pi_n)(B_.)=\sum_{i=1}^{k(n)}(B_{t_{i-1}}-B_{t_i})^2.$$

Y para cualquier secuencia de partición tenemos entonces $[B]_t=P-\lim_{n\to \infty} V([0,t],\Pi_n)(B_.)=t$ .

Sin embargo, cuando se toma el sup sobre todas las particiones finitas de $[0,t]$ entonces es un hecho conocido que casi seguramente $\sup_{\Pi\in \mathrm{partition}([0,t])} V([0,t],\Pi)(B_.)=+\infty$ .

Nunca he podido derivar este hecho correctamente y con todo detalle.

Estaría muy agradecido si alguien se tomara la molestia de aportar una prueba detallada de este hecho.

Answer 1

Puede encontrar una breve demostración de este hecho (en realidad en el caso más general del movimiento browniano fraccionario) en el documento :

M. Prattelli : Una observación sobre la variación 1/H del movimiento browniano fraccionario . Seminario de Probabilidad Vol. XLIII ( pdf )

Answer 2

El libro Movimiento browniano - Introducción a los procesos estocásticos de René Schilling y Lothar Partzsch contiene una prueba (detallada) de este hecho.