La comprensión de un ejercicio de Fulton, el Libro de las Curvas Algebraicas

Question

Hola perdona que te moleste de chicos. Estoy leyendo Fulton el libro de las Curvas Algebraicas. En la actualidad estoy trabajando en un problema específico (2.43), y tengo dudas acerca de mi trabajo y le agradezco otra opinión(s).

Suponga $p$ es el origen de $\mathbb{A}^n$ $\mathcal O_p(\mathbb{A}^n)$ es el conjunto de todas las funciones racionales se define en $\mathbb A^n$ $m_p (\mathbb{A} ^n)$ es el conjunto de unidades no. Espectáculo $I\mathcal O_p = m_p$ $I^r\mathcal O_p = m_p^r$ donde $I$ es el ideal generado por a $x_1,...,x_n$.

Mi prueba parece demasiado simple y que es lo que me molesta.

$(\supset)$ Deje $\phi \in m_p$ $\phi = \frac{f}{g} $ tal que $f(p)=0$. Bien $I \mathcal O_p$ es el conjunto generado por $\frac{r}{u}$ donde $r \in I$. Así por $f(p)=0$ esto implica que es en $\mathcal I(V(p))$ $f \in I$

$(\subset)$ Deje $\phi \in I\mathcal O_p$ $\phi= \frac{k}{h}$ donde $k \in I =<x_1,x_2,..x_n>$ $\phi \in m_p(\mathbb{A}^n)$

No estoy muy seguro de que en la segunda parte, pero ¿cómo se ve?

Answer 1

La idea de la prueba es correcta. La prueba es simple, pero transmite la importante relación entre el $\mathcal{I}(p)$, el máximo ideal de polinomios de fuga en $p$, e $m_p$, el máximo ideal de funciones racionales de fuga en $p$. Están basados en la misma propiedad de fuga en $p$, que no está afectado por los denominadores!

Un hecho importante para el estado es que el $\mathcal{I}(p) = I$. Con esto, el flujo lógico de la final de la primera y segunda parte de la prueba es clara: $f(p) = 0$ implica $f\in\mathcal{I}(p) = I$ (nota: no $\mathcal{I}(V(p))$!) para la primera parte, y $k\in I = \mathcal{I}(p)$ implica $k(p) = 0$ para el segundo.

De hecho, la prueba puede ser sucinto escrito de la siguiente manera:

$$ \phi= \frac{f}{g}\en m_p \Leftrightarrow \frac{f(p)}{g(p)} = 0 \Leftrightarrow f(p) = 0 \Leftrightarrow f\in \mathcal{I}(p) = I\Leftrightarrow \phi = \frac{f}{g}\in I\mathcal{S}_p $$

Edit: he cometido el mismo error! Debería haber sido $\mathcal{I}(p)$, no $V(p)$. La respuesta ha sido editada.