Ejemplo de un anillo con una infinita inclusión de la cadena de ideales

Question

Estoy tratando de seguir la pista de un ejemplo de un anillo en el que existe una infinita cadena de ideales en virtud de la inclusión. (es decir,$I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq I_3 \subsetneq...$)

Answer 1

Por definición, un anillo no es Noetherian. Un buen ejemplo de un no-Noetherian anillo es $F[X_1, X_2, X_3,...]$, el anillo de polinomios sobre un campo F en countably infinito indeterminates. En este anillo, tenemos la infinita cadena generada en los ideales de la $(X_1) \subsetneq (X_1, X_2) \subsetneq (X_1, X_2, X_3) \subsetneq...$.

Reclamo: $X_{n+1} \notin (X_1, ..., X_n)$

Prueba (boceto): Supongamos por contradicción que $X_{n+1} \in (X_1, ..., X_n)$. A continuación, nos gustaría ser capaces de escribir $X_{n+1} = a_1 \cdot X_1 \,+ ... + \,a_n \cdot X_n$ algunos $a_1, ..., a_n \in F[X_1, X_2, X_3,...]$. Si tomamos todos los indeterminado de argumentos de cada una de las $a_i$ $0$ (hay un número finito de argumentos para cada uno), se deduce que el $X_n = a_k \cdot X_k\, + ... + \,a_l\cdot X_l$ donde $a_k,...,a_l$ son la constante de funciones entre estos $a_1, ..., a_n$. Esto es una contradicción, porque $X_n$ ahora se pueden escribir como una combinación lineal de otras indeterminates, cuando su elección debe ser sin restricciones. El reclamo de la siguiente manera.

Para obtener más información sobre noetherian anillos, echa un vistazo a la página de la wikipedia.

Answer 2

El ejemplo clásico es el anillo de polinomios en una contables número de indeterminates: $k[x_1,x_2,\dots,x_n,\dotsc]$, y la cadena es $$ 0\subsetneq (x_1)\subsetneq(x_1,x_2)\subsetneq\dotsb $$

Answer 3

Para un bi-infinita cadena de ideales (y limitado trascendencia grado), inicio de $k[X]$ y se acuestan $2^n$-th raíces de $X$ todos los $n$.

La inclusión de pedido de los principales ideales de la $(X^{2^i})$ $i \in \mathbb{Z}$ es equivalente a la inversa de ordenación de números enteros, a través de la correspondencia $2^i \leftrightarrow i$.