Puede alguien por favor me explique cómo el teorema fundamental de el álgebra de la siguiente manera o esté relacionado con el de Bolzano, Weierstrass del teorema?
Respuesta
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George Simpson
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Como se ha mencionado en los comentarios, hay una gran conexión entre Bolzano-Weierstrass teorema (BWT) y el teorema fundamental del álgebra (TLC). Voy a ir a través de este documento y a intentar romper. En primer lugar, al estado de los teoremas:
BWT: Cada secuencia delimitada en $\mathbb{R}^n$ tiene un convergentes larga. Tenga en cuenta que para los fines de abajo, se puede afirmar que cualquier función continua $f:\mathbb{D}\to\mathbb{R}$ (donde $\mathbb{D}$ es cerrado y acotado de disco) tiene un mínimo en $\mathbb{D}$.
TLC: Todos los no-constante de una sola variable polinomio con coeficientes complejos tiene un mínimo de un complejo de raíz.
Este documento da una prueba de que el TLC a través de BWT. Voy a ir a través de los detalles técnicos si te gusta, pero ya que usted me lo pide, le dará una visión general de lo que estaba escrito.
La razón de que el peso corporal se utiliza es porque evita el uso de funciones trascendentes (analítica de la función que no satisface una ecuación polinómica), ya que su teoría es mucho más profunda que el acuerdo de libre comercio.
Para la prueba, el primer paso es establecer una desigualdad de la que los límites $0$ por encima y por debajo por el imaginario y real de las partes de un determinado $\zeta$ a algunos de potencia mayor o igual a $2$. La potencia es un número natural, excluyendo el origen. La prueba es a través de la fórmula Binominal.
La idea de la prueba es introducir un polinomio con coeficientes en el plano complejo. Llamar a esto $P$. Multiplique esta $P$ con su conjugado $\overline{P}$. Tomar el límite de $|z|\to\infty$ a establecer que $P\overline{P}$ tiene un mínimo global en algún punto de $z_0\in\mathbb{C}$.
Asumiendo $z_0=0$ podemos escribir $P\overline{P}$ menos la misma cantidad evaluada en cero (lo que es claramente positiva). Mediante la sustitución de $r\zeta$ (donde $\zeta$ es un número complejo y un escalar positivo $r$) y el análisis de los casos de $k$ e impares por separado terminado la prueba.
Es normal esto?
