"Cualquier ley física que pueda expresarse como un principio variacional describe un operador autoadjunto"

Question

El título es un Wikipedia cita, pero no tiene ninguna cita asociada en Wikipedia, salvo una referencia a Cornelius Lanczos. Me gustaría aclarar la afirmación y profundizar en los conceptos correspondientes. ¿Sabe alguien a qué resultados puede referirse la página de Wikipedia? ¿Puede alguien ofrecer una idea de por qué se podría esperar un principio como

"Cualquier ley física que pueda expresarse como un principio variacional describe un operador autoadjunto"

¿para sostener y qué significa?

Answer 1

La cita de la Wikipedia parece sacada de esto Texto de Física del Estado Sólido por CTI Reviews y que luego se ha difundido por toda la web. Sin embargo, el texto no cita a Lanczos. Aquí está el único pasaje de las 300 páginas de Lanczos Principios variacionales de la mecánica que contiene la palabra "autoadjunto":

" Schroedinger, por su parte, introdujo el punto de vista operacional y reinterpretó la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi como una ecuación de onda. Su punto de partida es la analogía óptico-mecánica de Hamilton. A pesar de que los nuevos conceptos se alejan radicalmente de los de la física antigua, la característica básica de las ecuaciones diferenciales de la mecánica ondulatoria es su carácter autoadjunto, lo que significa que son derivables de un principio variacional. Por lo tanto, a pesar de todas las diferencias en la interpretación, los principios variacionales de la mecánica siguen manteniendo su posición en la descripción. A pesar de que los nuevos conceptos se alejan radicalmente de los de la física antigua, la característica básica de las ecuaciones diferenciales de la mecánica ondulatoria es su carácter autoadjunto, lo que significa que son derivables de un principio variacional . Por lo tanto, a pesar de todas las diferencias de interpretación, los principios variacionales de la mecánica siguen manteniéndose en la descripción de todos los fenómenos de la naturaleza. " [el énfasis es mío]

Así que Lanczos sólo afirma lo contrario, que la autoadhesión implica una formulación variacional. Esto es esencialmente correcto. Por supuesto, si uno quiere que un principio variacional implique una optimización real en lugar de sólo los extremos, el espectro también tiene que estar acotado desde abajo, pero eso es lo que suele ocurrir en los problemas "físicos". Si $A$ es el operador el funcional variacional será entonces $f(x)=(Ax,x)$ con algunas limitaciones en $x$ Por ejemplo, la normalización y/o las condiciones de contorno.

Por otra parte, lo que la "cita" atribuye a Lanczos no tiene sentido: un principio variacional que no es lineal (más exactamente, cuyo funcional no es cuadrático), o que no está enunciado en un espacio de Hilbert no "describe una expresión que es autoadjunta o hermitiana". Hay aún más confusión en la versión ampliada de la "cita" que en su día albergó Wikipedia:

" Según Cornelius Lanczos, cualquier ley física que pueda expresarse como un principio variacional describe una expresión que es autoadjunta o hermitiana. Por tanto, dicha expresión describe una invariante bajo una transformación hermitiana. El programa de Erlangen de Felix Klein intentó identificar tales invariantes bajo un grupo de transformaciones. El teorema de Noether identificó las condiciones bajo las cuales el grupo de transformaciones de Poincaré (lo que ahora se denomina grupo gauge) para la relatividad general define las leyes de conservación. La relación de estas invariantes (las simetrías bajo un grupo de transformaciones) y lo que ahora se llama corrientes conservadas, depende de un principio variacional, o principio de acción. Los trabajos de Noether precisaron los requisitos de las leyes de conservación. El teorema de Noether sigue estando en consonancia con los desarrollos actuales de la física hasta el día de hoy".

Aparte del lío adicional con la "transformación hermitiana" y las leyes de conservación, esto posiblemente se refiere al Apéndice II o a la sección 20 del capítulo XI ("Principio de Noether") en la cuarta edición del libro de Lanczos. Allí determina las leyes de conservación asociadas a la invariancia de la lagrangiana bajo un cambio de fase para las ecuaciones de Maxwell y Schrödinger, véase también Los teoremas de Noether de Kosmann-Schwarzbach .

ACTUALIZACIÓN (2021): La cita del título sigue apareciendo en la Wikipedia Principio de variabilidad . La "cita" ampliada se ha borrado, afortunadamente, (aparece en Página de discusión de Wikipedia ), pero no antes de ser clonado en mayhematics , scientificlib y otros sitios similares, donde perdura.

Answer 2

Basándonos en la cita de Lanczos encontrada por Conifold...

"A pesar de que los conceptos [cuánticos] se alejan radicalmente de los de la física antigua, la característica básica de las ecuaciones diferenciales de la mecánica ondulatoria es su carácter autoadjunto, lo que significa que son derivables de un principio variacional. De ahí que, a pesar de todas las diferencias de interpretación, los principios variacionales de la mecánica sigan manteniendo su vigencia en la descripción de todos los fenómenos de la naturaleza."

...parece que Lanczos se refería a un resultado poco conocido pero clave en el problema inverso del cálculo variacional. El resultado afirma que un sistema de EDOs (es decir, una "ley física") puede expresarse en términos de un principio variacional si y sólo si (el sistema de EDOs) es de forma variable autoadjunto.

(Nota: esta noción de autoconjunto es diferente de la de operador lineal autoconjunto. La cita de wikipedia en el OP parece confundir los dos).

He aquí una explicación de lo que significa. Denota $q\triangleq(q_1,\dots,q_n)$ . Como es sabido, dada una lagrangiana $L(q,\dot q,t)$ el principio de acción estacionaria conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL); es decir, al sistema de $n$ ODEs de segundo orden $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,\qquad i=1,\dots, n. $$ El problema inverso es este. Considere un sistema dado de $n$ de segundo orden con valores reales, $$ F_i(q,\dot q,\ddot q,t)=0,\qquad i=1,\dots, n. $$ Cuándo se puede considerar este sistema como las ecuaciones EL para algún (cualquier) lagrangiano $L(q,\dot q,t)$ ? Santilli [1] atribuye a Helmholtz la primera respuesta en 1887: Bajo condiciones de regularidad adecuadas, un Lagrangiano existirá si y sólo si las funciones $F_i$ satisfacen las identidades \begin{gather} \frac{\partial F_i}{\partial \ddot q^k}=\frac{\partial F_k}{\partial \ddot q^i},\\ \frac{\partial F_i}{\partial\dot q^k}+\frac{\partial F_k}{\partial\dot q^i}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F_i}{\partial\ddot q^k}+\frac{\partial F_k}{\partial\ddot q^i}\right),\\ \frac{\partial F_i}{\partial q^k}-\frac{\partial F_k}{\partial q^i}=\frac12\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F_i}{\partial\dot q^k}-\frac{\partial F_k}{\partial\dot q^i}\right), \end{gather} para todos $i,k\in\{1,\dots,n\}$ . Esto se conoce como las condiciones de autoadhesión variacional. (Tendrás que leer [1] para una explicación del nombre).

Volviendo al punto de Lanczos: escribir la ecuación de Schrodinger sobre un $m$ -espacio de Hilbert, $i\hbar\dot{\vec\psi}=\hat H\vec\psi$ como un sistema de $n=2m$ ODEs de valores reales, se puede comprobar (ejercicio) que satisfacen las condiciones de auto-agregación (variacional). Y de hecho, éstas (conjuntamente con la ecuación de Schrodinger) son las ecuaciones EL para el Lagrangiano $L=\vec\psi^\dagger(i\hbar\dot{\vec\psi}-\hat H\vec\psi)$ .

[1] Santilli, Ruggero Maria. Fundamentos de la mecánica teórica I: El problema inverso en la mecánica newtoniana. Springer Science & Business Media, 2013.