Resumen:
Existe una (bijective) enumeración $(q_i)_{i\geqslant0}$ de los racionales en $[0,1]$ tal que, por cada $a\gt1$, la serie $\sum\limits_i|q_i-q_{i-1}|^$ converge.
Este resultado es óptimo en el sentido de que no (bijective) enumeración $(q_i)_{i\geqslant0}$ de los racionales en $[0,1]$ es tal que la serie $\sum\limits_i|q_i-q_{i-1}|$ converge.
Vamos a mostrar el primer punto. Por cada $n\geqslant0$ y $0\leqslant k\lt 2^n$, definir el intervalo de $I_{2^n+k}$ como
$$I_{2^n+k}=\left\{\begin{array}{ll}(k\cdot2^{-n},(k+1)\cdot2^{-n}]&\text{si $n$ es aún},\\
(1-(k+1)\cdot2^{-n},1-k\cdot2^{-n}]&\text{si $n$ es impar}.\end{array}\right.
$$
Por lo tanto, por cada $n\geqslant0$, $(I_{2^n+k})_{0\leqslant k\lt 2^n}$ es una partición de $(0,1]$ a $2^n$ intervalos de longitud $2^{n}$. Por cada $i\geqslant 2^n$, si $x$ es $I_i$ y $y$ en $I_{i+1}$, entonces $|x-y|\leqslant c\cdot2^{-n}$, probablemente para $c=2$ y, sin duda, $c=42$.
Definir de forma recursiva $(q_i)_{i\geqslant0}$ de la siguiente manera: vamos a $q_0=0$ y, por cada $n\geqslant0$ y $0\leqslant k\lt 2^n$, vamos a $q_{2^n+k}$ denotar el racional en $I_{2^n+k}$ no ya en $\{q_i\mid i\lt 2^n+k\}$, cuya reducida fracción tiene un mínimo denominador y, si varias de estas racionales existen, mínimo numerador.
Entonces $(q_i)_{i\geqslant0}$ enumera los racionales en $[0,1]$. Además, por cada $n\geqslant0$, si $2^n\leqslant i\lt 2^{n+1}$, entonces
$$|q_i-q_{i-1}|\leqslant c\cdot2^{-n}.$$
Por lo tanto la división de la suma de $\sum\limits_i|q_i-q_{i-1}|^$ $2^n\leqslant i\lt 2^{n+1}$ es en la mayoría de los
$$2^n\cdot(c\cdot2^{-n})^=c^a\cdot2^{-(a-1)n}.$$ Dado que $a\gt1 de dólares, sumando los muestra que la serie converge. QED.
El hecho de que la serie $\sum\limits_i|q_i-q_{i-1}|$ difiere para cada enumeración es fácil. Definir de forma recursiva la secuencia de $(N(n))_{n\geqslant0}$ como sigue: supongamos $N(0)=0$ y, por cada $n\geqslant0$, vamos a $N(n+1)$ denotar el entero más pequeño que $i\geqslant N(n)$ tal que
$$
|q_i-q_{N(n)}|\geqslant\tfrac12.
$$
Entonces $N(n)$ es finito para cada $n$ (por qué?) y triangular en el que la desigualdad de los rendimientos $$\sum\limits_i|q_i-q_{i-1}|\geqslant\sum\limits_n|q_{N(n)}-q_{N(n-1)}|\geqslant\sum\limits_n\tfrac12,
$$
que es infinito.