Las curvas de $y^2=x^{2k+1}$ nunca son isomorfos a cada uno de los otros

Question

Para cada $k \in \Bbb N$, consideramos que la variedad afín $X_k=\Bbb V(y^2-x^{2k+1}) \subset \Bbb A^2$. Gathmann nota de contener el siguiente ejercicio:

Muestran que las curvas de $X_k$ son parejas nonisomorphic.

Equivalentemente, Tenemos que mostrar que los anillos de $$\frac{\Bbb C[x,y]}{(y^2-x^{2k+1})}$$ son pares nonisomorphic.

El hecho de que $X_1, X_0$ son no isomorfos es bien conocido: esto es simplemente decir que el cuspidal de la curva no es isomorfo a $\Bbb A^1$, ya que uno es liso y el otro no.

Se sugiere como una sugerencia para mirar el golpe de $X_k$ en el origen, y que sin duda, es suficiente para mostrar que estos blow-ups $\tilde X_k \subset \Bbb A^2 \times \Bbb P^1 $ son parejas nonisomorphic. Yo también estoy interesado en saber si este es el "estándar" de la prueba, o hay otros métodos que funcionan. (como el anillo-isomorfismo enfoque de arriba).

Si denotamos las coordenadas de $\tilde {\Bbb A^2}$ $((x_1,x_2),(y_1:y_2))$ Gathmann, a continuación, muestra que el golpe de $X_k$ se da en $U_1=\{y_1 \neq 0\}$ por la ecuación de $y_2^2-x_1^{2k-1}=0$. Es suficiente para demostrar que estas curvas son pares nonisomorphic en $\Bbb A^2$?

Answer 1

El anillo de isomorfismo también es fácil de hacer (volar también está bien). Si usted tiene un isomorfismo $f:A_k\to A_l$ donde $A_n=\mathbb{C}[x,y]/(y^2-x^{2n+1})$, entonces se induce un isomorfismo de sus normalizaciones, que está a sólo $\mathbb{C}[t]=R$, donde el mapa de $A_n\to R$ es, el envío de $x\mapsto t^2, y\mapsto t^{2n+1}$. Ahora, $f$ induce un automorphism de $R$, los cuales son simplemente lineal mapas, $t\mapsto at+b$,$a\neq 0$. Por supuesto, podemos suponer que $k\leq l$ y ambos con al menos 1. A continuación, las siguientes $t^2$ proveniente de $A_k$, que debe de tierras dentro de la imagen de $A_l$, se verifica que $b=0$. Ahora, que es elemental para comprobar que $k=l$, siguiendo donde $t^{2k+1}$ va.