Evaluar la integral de la $\int_0^\frac{\pi}{2} \ln\left(\frac{1+a\cos x}{1-a\cos x}\right) \frac{\mathrm{d} x}{\cos x}$ $\left|a\right|<1$

Question

Pregunta: Evaluar la siguiente integral definida: $$ I= \int_{0}^{\pi/2} \ln\left(1 + \cos\left(x\right) \más de 1 a\cos\left(x\right)\right)\, {{\rm d}x \\cos\left(x\right)}\qquad \mbox{donde}\qquad\left\vert\,\,\right\vert < 1 $$

Esto se deja como ejercicio en mi libro de texto. El libro dice que yo debería usar el método de "la diferenciación de los parámetros utilizando la Fórmula de Leibniz (?):

Requisito: la Función $f(x,y)$ y su derivada parcial $f_x(x,y)$ son ambas continuas en la región de $R=[a,b]\times[c,d]$. La función $\alpha(x)$ $\beta(x)$ son tanto diferenciable en intervl $[a,b]$, mientras que $$ c \le \alpha(x) \le d,\quad c \le \beta(x) \le d \quad (a\le x\le b),$$

Conclusión: La Función de $\displaystyle\Phi(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) \,\mathrm d y$ es diferenciable en el intervalo de $[a,b]$, y $$\begin{align} \Phi^\prime(x) &= \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) \,\mathrm d y \\ &= \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f_x(x,y) \,\mathrm d y + f\left[x,\beta(x)\right]\beta^\prime(x)-f\left[x,\alpha(x)\right]\alpha^\prime(x). \end{align}$$

En primer lugar, me gustaría preguntarle: ¿Cuál es el nombre correcto de este teorema?

La próxima, aquí está mi error?) los intentos de resolución de la cuestión.

Siguiendo uno de los ejemplos de libro sobre el mismo tema, he intentado:

$$ \begin{align} I&=\int_0^\frac{\pi}{2} \left[\ln(1+y)\right]_{-a \cos x}^{a \cos x} \frac{\mathrm d x}{\cos x} \\ \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \int_{-a \cos x}^{a \cos x} \frac{\mathrm d y}{1+y} \frac{\mathrm d x}{\cos x}. \\ &=\int_{-a}^{a} \frac{1}{1+y} \int_{0}^{\arccos\left|y/a\right|}\,\mathrm d x \mathrm d y \\ &=\int_{-a}^{a} \left.\left[\ln\left|\tan x + \sec x\right|\right]\right|_0^{\arccos(y/a)} \end{align} $$

Y no sé qué hacer a continuación.

También he probado a sustituir a $u=a \cos x$ pero no sé cómo proceder.

Por favor me ayudan con este (no de la tarea) problema dándoles consejos o solución, ha sido una semana desde que lo probé por primera vez este problema. Gracias por la ayuda!

P. S.: Mi MathJax no render (o puede necesitar horas de tiempo), y no me da la vista previa por escrito de preguntas/respuestas. Estoy confiando en Látex de ahora. ¿Cómo puedo solucionar este problema? Se utiliza para trabajar. Estoy usando internet explorer 9.

Answer 1

Esto es lo que se llama Leibniz integral de la regla. Usándolo usted puede fácilmente calcular esta integral $$ \frac{d}{d} =\frac{d}{da}\int\limits_{0}^{\pi/2}\ln\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\frac{dx}{\cos x} =\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{d}{da}\ln\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\frac{dx}{\cos x} =\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{2dx}{1-a^2\cos^2 x} $$ $$ \frac{d}{d}=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{2d(\tan x)}{(1-a^2)+\tan^2 x} =\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{2dt}{(1-a^2)+t^2} $$ $$ \frac{d}{d}=2\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\arctan\frac{t}{\sqrt{1-a^2}}\Biggl|_0^\infty =\frac{\pi}{\sqrt{1-a^2}} $$ Desde $I(0)=0$ tenemos $$ I(\alpha)=I(0)+\int\limits_0^{\alpha}\frac{dI}{da}da =\pi\int\limits_0^{\alpha}\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}da =\pi\arcsin un\Biggl|_0^\alpha =\pi\arcsin\alpha $$