Resolver el problema de valor inicial $u_{xx}+2u_{xy}-3u_{yy}=0,\ u(x,0)=\sin{x},\ u_{y}(x,0)=x$

Question

Resolver la ecuación diferencial parcial $$u_{xx}+2u_{xy}-3u_{yy}=0$$ sujeta a las condiciones iniciales $u(x,0)=\sin{x}$ , $u_{y}(x,0)=x$ .

Lo que he hecho $$ 3\left(\frac{dx}{dy}\right)^2+2\frac{dx}{dy}-1=0 $$ implica $$\frac{dx}{dy}=-1,\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3} $$ y así $$ x+y=c_{1},\ 3x-y=c_{2}. $$ Sea $ \xi=x+y$ , $\eta=3x-y$ . Entonces \begin{align} u_{xx}&=u_{\xi\xi}+6u_{\xi\eta}+9u_{\eta\eta} \\ u_{yy}&=u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}+u_{\eta\eta} \\ u_{xy}&=u_{\xi\xi}-2u_{\xi\eta}-3u_{\eta\eta}. \end{align} Aplicar sustituciones, $$ u_{\xi\eta}=0. $$ Así, \begin{align} u(\xi,\eta)&=\varphi(\xi)+\psi(\eta) \\ u(x,y)&=\varphi(x+y)+\psi(3x-y). \end{align} Aplicar la condición de valor inicial, \begin{align} u(x,0)&=\varphi(x)+\psi(3x)=\sin{x} \\ u_{y}(x,0)&=\varphi'(x)-\psi'(3x)=x \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \varphi(x)&= \frac{1}{2} \left(\sin{x}+\int_{x_{0}}^{x} \tau \, d\tau \right)+\frac k2 \\ (3x)&=\frac{1}{2} \left(\sin{x}-\int_{x_{0}}^{x}\tau \, d\tau \right)-\frac k2. \end{align}

No tengo ni idea de cómo conseguir $(x)$ . ¿Alguien podría ayudarme a seguir haciendo esta pregunta? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Después de obtener su solución general de $$ u(x, y) = \phi(x + y) + \psi(3x - y) $$ Podemos observar lo siguiente: $$ \phi(x) + \psi(3x) = \sin x \\ \phi'(x) - \psi'(3x) = x $$ Ahora podemos diferenciar nuestra primera ecuación para obtener $$ \phi'(x) + 3\psi'(3x) = \cos x $$ ¿Ves por dónde seguir? (intenta sumar tres de la segunda ecuación a la primera ecuación)

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Entendí mal cual era el tema, dejando lo anterior por el bien de la comunidad. En cuanto a tener $\psi(3x)$ y queriendo $\psi(x)$ intente poner $3x = y$ y obtendrá una expresión para $\psi(y)$ que puede reescribirse como $\psi(x)$ .

Answer 2

Utilizamos el método de la transformada de Laplace y el CAS Maxima libre http://maxima.sourceforge.net/

Contesta: $$u=\frac{\sin(x+y)}{4}+\frac{y^2}{3}+xy+\frac34\sin\left(x-\frac{y}{3}\right)$$ 2 método

• $D_x^2+2D_xD_y-3D_x^2=(D_x-D_y)(D_x+3D_y)$
• Solución general de $u_x-u_y=0$ es $u_1=f(x+y)$
• Solución general de $u_x+3u_y=0$ es $u_2=g\left(x-\frac{y}{3}\right)$
• $u=u_1+u_2=f(x+y)+g\left(x-\frac{y}{3}\right)$
• A partir de las condiciones iniciales obtenemos $$f(x)+g(x)=\sin(x),\\f'(x)-\frac13g'(x)=x$$
• Tras la integración de la segunda ecuación obtenemos $$f(x)+g(x)=\sin(x),\\f(x)-\frac13g(x)=\frac{x^2}{2}+c$$
• Entonces $$f(x)=\frac{\sin{(x)}}{4}+\frac{3 {{x}^{2}}}{8}+\frac{3 c}{4},\\ g(x)=\frac{3 \sin{(x)}}{4}-\frac{3 {{x}^{2}}}{8}-\frac{3 c}{4} $$
• $$u=f(x+y)+g\left(x-\frac{y}{3}\right)\\=\frac{\sin{\left( x+y\right) }}{4}+\frac{3 {{\left( x+y\right) }^{2}}}{8}-\frac{3 {{\left( x-\frac{y}{3}\right) }^{2}}}{8}-\frac{3 \sin{\left( \frac{y}{3}-x\right) }}{4}\\= \frac{\sin(x+y)}{4}+\frac{y^2}{3}+xy+\frac34\sin\left(x-\frac{y}{3}\right) $$